Для чисел $A$ и $B,$ состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют
$S$ $—$ сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел $A=123$ и $B=579$ получается сумма $S=1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9=46$.
а) Существуют ли трёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S=200$?
б) Существуют ли четырёхзначные числа $A$ и $B,$ для которых $S=320$?
в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой $S$
для некоторых пятизначных чисел $A$ и $B$?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
Решение
В каждой позиции мы перемножаем две цифры. Цифры лежат от 0 до 9, поэтому одно произведение не больше $9\cdot9=81$. В этой задаче полезно либо составить нужную сумму из таких произведений, либо доказать, что между допустимыми произведениями остаётся слишком большой промежуток.
а) Возьмём $A=977$, $B=998$. Проверим каждую позицию:
$$
S=9\cdot9+7\cdot9+7\cdot8=81+63+56=144+56=200.
$$
Оба числа трёхзначные. Ответ: да.
б) В четырёх позициях наибольшая сумма равна $4\cdot81=324$. Если хотя бы одно произведение меньше 81, оно не больше 72: хотя бы одна цифра тогда не больше 8, а другая не больше 9, поэтому произведение не больше $8\cdot9=72$. Следовательно, вся сумма либо равна 324, либо не больше:
$$
3\cdot81+72=243+72=315.
$$
Число 320 больше 315 и меньше 324. Оно не попадает ни в один случай. Ответ: нет.
в) Нужно охватить все числа от 1 до 340, а не отдельные примеры. Сначала покажем, что любой остаток $R$ от 0 до 97 можно выразить суммой двух произведений цифр.
При $0\le R\le89$ разделим $R$ на 9 с остатком:
$$
R=9q+r,\qquad0\le q\le9,\qquad0\le r\le8.
$$
И частное $q$, и остаток $r$ — цифры, поэтому:
$$
R=9\cdot q+1\cdot r.
$$
Осталось восемь чисел от 90 до 97. Для них явно укажем два произведения:
$$
\begin{array}{c|c}
90&9\cdot9+1\cdot9=81+9\\
91&7\cdot9+4\cdot7=63+28\\
92&8\cdot8+4\cdot7=64+28\\
93&9\cdot9+2\cdot6=81+12\\
94&6\cdot9+5\cdot8=54+40\\
95&9\cdot9+2\cdot7=81+14\\
96&9\cdot9+3\cdot5=81+15\\
97&9\cdot9+2\cdot8=81+16
\end{array}
$$
Теперь для нужного $S$ выделим несколько слагаемых по 81. Выбор полностью покрывает диапазон:
$$
\begin{array}{c|c|c}
S&k&R=S-81k\\\hline
1\ldots80&0&1\ldots80\\
81\ldots161&1&0\ldots80\\
162\ldots242&2&0\ldots80\\
243\ldots340&3&0\ldots97
\end{array}
$$
Каждое из $k$ слагаемых 81 записываем как $9\cdot9$. Остаток $R$ записываем двумя произведениями по доказанному выше правилу. Всего используется не больше $3+2=5$ позиций. Если их меньше пяти, дописываем нулевые произведения $0\cdot0$.
Объясним, как из произведений получаются сами числа. Первые множители записываем цифрами числа $A$, вторые — цифрами $B$ в том же порядке. Так как $S\ge1$, хотя бы одно произведение положительно. Переставим эту пару цифр в первую позицию: тогда у обоих чисел первая цифра ненулевая. Остальные позиции могут содержать нули. Получились именно пятизначные числа с нужной суммой $S$.
Ответ: а) да; б) нет; в) верно для каждого натурального числа от 1 до 340.