ФИПИ 5066E8 — Суммы и среднее арифметическое

На окружности у каждого числа два соседа, включая пару «последнее — первое». Поэтому нужно учитывать 12 разностей, а не 11. а) Расставим по кругу числа в порядке: $$ 1,2,3,4,5,12,6,7,8,9,10,11. $$ Разности соседей, начиная с пары 1 и 2 и заканчивая парой 11 и 1: $$ 1,1,1,1,7,6,1,1,1,1,1,10. $$ Здесь девять единиц и ещё числа 7, 6, 10. Проверка суммы: $$ 9\cdot1+7+6+10=9+7+6+10=32. $$ б) У целого числа $z$ модуль $|z|$ имеет ту же чётность: если $z<0$, то $|z|-z=-2z$ — чётное число; если $z\ge0$, разность равна нулю. Обозначим круговую последовательность через $a_1,\ldots,a_{12}$ и положим $a_{13}=a_1$. Тогда сумма модулей имеет ту же чётность, что сумма разностей без модулей. Но в ней все числа сокращаются: $$ (a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\ldots+(a_{12}-a_{11})+(a_1-a_{12})=0. $$ Следовательно, сумма модулей чётная. Число 29 нечётно. Ответ: нет. в) Чтобы ограничить сразу все соседние разности, выберем середину между числами 6 и 7 — число $6{,}5$. Для любых соседей $u,v$ расстояние между ними не больше пути от $u$ до $6{,}5$ и затем до $v$ (неравенство треугольника): $$ |u-v|\le|u-6{,}5|+|v-6{,}5|. $$ Если сложить это по всем рёбрам окружности, каждое число встретится ровно дважды, потому что имеет двух соседей: $$ \text{сумма разностей}\le2\sum_{j=1}^{12}|j-6{,}5|. $$ Расстояния от середины равны $0{,}5,1{,}5,2{,}5,3{,}5,4{,}5,5{,}5$, каждое по два раза: $$ \sum_{j=1}^{12}|j-6{,}5| =2(0{,}5+1{,}5+2{,}5+3{,}5+4{,}5+5{,}5) =2\cdot18=36. $$ Значит, сумма не больше $2\cdot36=72$. Для равенства поставим поочерёдно число не больше 6 и число не меньше 7: $$ 1,7,2,8,3,9,4,10,5,11,6,12. $$ Разности по кругу: $$ 6,5,6,5,6,5,6,5,6,5,6,11. $$ $$ 6\cdot6+5\cdot5+11=36+25+11=72. $$ Верхняя граница достигнута. Ответ: а) указанный порядок даёт 32; б) нет; в) 72.