На столе лежит $N$ монет по 2 рубля и $(1200-N)$ монет по 5 рублей ($N$ — натуральное число от 1 до 1199). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.
а) Может ли $N$ равняться 400?
б) Может ли $N$ равняться 600?
в) Сколько различных значений может принимать число $N?$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 977.
Решение
Сначала выразим общую сумму через $N$. Двухрублёвых монет $N$, пятирублёвых $1200-N$. Поэтому:
$$T=2N+5(1200-N).$$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$$T=2N+6000-5N=6000-3N.$$
Условие должно выполняться для любых 500 монет. Значит, достаточно и необходимо проверить самый дешёвый набор из 500: если даже он стоит не меньше $T/4$, то любой более дорогой набор тоже подходит. Чтобы получить самый дешёвый набор, сначала берём монеты по 2 рубля и лишь при их нехватке добавляем монеты по 5 рублей.
Случай 1. $N<500$.
В дешёвом наборе будут все $N$ двухрублёвых монет и $500-N$ пятирублёвых. Его стоимость:
$$M=2N+5(500-N)=2N+2500-5N=2500-3N.$$
Подставим в требование $M\ge T/4$:
$$2500-3N\ge\frac{6000-3N}{4}.$$
Умножим обе части на положительное число 4:
$$10000-12N\ge6000-3N.$$
Вычтем 6000 и прибавим $12N$ к обеим частям:
$$4000\ge9N.$$
Разделим на 9:
$$N\le\frac{4000}{9}=444+\frac49.$$
Число монет целое, поэтому здесь подходят $N=1,2,\ldots,444$. Число 445 уже больше найденной границы. Все найденные числа удовлетворяют исходному ограничению $N<500$.
Случай 2. $N\ge500$.
Теперь можно взять 500 монет по 2 рубля. Самый дешёвый набор стоит:
$$M=500\cdot2=1000.$$
Получаем:
$$1000\ge\frac{6000-3N}{4}.$$
Умножим на 4:
$$4000\ge6000-3N.$$
Прибавим $3N$ и вычтем 4000:
$$3N\ge2000.$$
Разделим на 3:
$$N\ge\frac{2000}{3}=666+\frac23.$$
С учётом целочисленности и ограничения из условия $N\le1199$ получаем $N=667,668,\ldots,1199$.
а) Число 400 входит в первый список, значит, оно возможно. Можно проверить непосредственно:
$$T=6000-3\cdot400=6000-1200=4800,$$
$$T/4=1200,\qquad M=2500-1200=1300\ge1200.$$
б) Число 600 не входит ни в один список. Действительно:
$$T=6000-3\cdot600=4200,$$
$$T/4=1050>1000=M.$$
Самый дешёвый набор не удовлетворяет требованию. Ответ — нет.
в) В первом списке 444 числа. Во втором количество целых чисел от 667 до 1199 включительно равно:
$$1199-667+1=532+1=533.$$
Списки не пересекаются. Поэтому общее количество:
$$444+533=977.$$
Ответ: а) да; б) нет; в) 977.