В школах $№$1 и $№$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№$1 в школу $№$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе $№$1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе $№$1 вырос на 10%, средний балл в школе $№$2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№$2 равняться 1?
в) Средний балл в школе $№$1 вырос на 10%, средний балл в школе $№$2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№$2.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.
Решение
Обозначим исходные количества учеников $m,n$, исходные целые средние $A,B$, балл перешедшего ученика $p$. По условию $m+n=51$, $m,n\ge2$, а все баллы положительные целые.
а) Если средний первой школы удвоился, то после ухода ученика сумма оставшихся баллов должна быть $2A(m-1)$. До ухода она равнялась $Am$. Значит, балл ушедшего:
$$
p=Am-2A(m-1)=Am-2Am+2A=A(2-m).
$$
При $m\ge2$ выражение $2-m\le0$, поэтому $p\le0$. Это противоречит натуральности балла. Ответ: нет.
Для б) и в) увеличение на 10% означает умножение на $1{,}1$. Выведем ограничения из формул среднего. Для первой школы:
$$
\frac{Am-p}{m-1}=1{,}1A;\quad10Am-10p=11Am-11A;
\quad10p=A(11-m).
$$
Так как $p>0$ и $A>0$, число $11-m$ положительно, поэтому $2\le m\le10$. Для второй школы:
$$
\frac{Bn+p}{n+1}=1{,}1B;\quad10Bn+10p=11Bn+11B;
\quad10p=B(n+11).
$$
Подставим $n=51-m$, откуда $n+11=62-m$. Получаем:
$$
p=\frac{B(62-m)}{10};\qquad A=\frac{B(62-m)}{11-m},\qquad2\le m\le10.
$$
б) При $B=1$ для целого $p$ величина $62-m$ должна делиться на 10. Она лежит от $62-10=52$ до $62-2=60$. Единственное кратное 10 в этом диапазоне — 60. Поэтому $m=2$. Но тогда:
$$
A=\frac{62-2}{11-2}=\frac{60}{9}=\frac{20}{3},
$$
а это не целый исходный средний. Ответ: нет.
в) Для минимума $B$ после исключённой единицы проверяем $B=2$. Чтобы $p=2(62-m)/10=(62-m)/5$ было целым, число $62-m$ должно делиться на 5. В диапазоне 52–60 таких чисел два: 55 и 60. Соответственно, $m=7$ или $m=2$. Проверим оба:
$$
m=2:\quad A=\frac{2\cdot60}{9}=\frac{120}{9}=\frac{40}{3}\notin\mathbb Z;
$$
$$
m=7:\quad A=\frac{2\cdot55}{4}=\frac{110}{4}=\frac{55}{2}\notin\mathbb Z.
$$
Значит, $B=2$ тоже невозможно. Для $B=3$ возьмём $m=2,n=49$:
$$
p=\frac{3\cdot60}{10}=18;\qquad A=\frac{3\cdot60}{9}=20.
$$
Первая школа: два ученика с баллами 18 и 22, исходный средний $(18+22)/2=40/2=20$. После ухода 18 остаётся 22, а $22=1{,}1\cdot20$.
Вторая школа: 49 учеников по 3 балла, сумма $49\cdot3=147$, исходный средний 3. После прихода ученика с 18 баллами:
$$
\frac{147+18}{49+1}=\frac{165}{50}=3{,}3=1{,}1\cdot3.
$$
Все условия выполнены, а меньшие целые $B$ исключены. Ответ: а) нет; б) нет; в) 3 балла.