В ящике лежит 87 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 94 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 127 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?
б) Могло ли в ящике оказаться меньше 9 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?
в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 465 г.
Решение
Разделим фрукты на три группы. Пусть $m$ фруктов весят меньше 100 г, $n$ — больше 100 г, $z$ — ровно 100 г. Известно общее количество:
$$m+n+z=87.$$
Разные массы есть, а средняя масса всех фруктов 100 г. Значит, есть и лёгкие, и тяжёлые фрукты: иначе все отклонения были бы одного знака и средняя не равнялась бы 100.
Найдём суммарную массу каждой группы по формуле «среднее, умноженное на количество»:
$$94m,\qquad127n,\qquad100z.$$
Общая масса равна $100\cdot87$. Подставим $87=m+n+z$:
$$94m+127n+100z=100(m+n+z).$$
Раскроем скобки справа и перенесём одинаковые части:
$$94m+127n+100z=100m+100n+100z,$$
$$27n=6m.$$
Разделим обе части на 3:
$$9n=2m.$$
Правая часть чётна, поэтому $n$ чётно. Запишем $n=2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда:
$$9\cdot2k=2m,\qquad m=9k.$$
Оставшиеся стограммовые фрукты:
$$z=87-m-n=87-9k-2k=87-11k.$$
Их количество неотрицательно:
$$87-11k\ge0,\qquad11k\le87.$$
Так как $11\cdot7=77\le87$, а $11\cdot8=88>87$, получаем:
$$1\le k\le7.$$
а) Равенство количества лёгких и тяжёлых означало бы $9k=2k$. После вычитания $2k$ получилось бы $7k=0$, то есть $k=0$. Это противоречит $k\ge1$. Поэтому поровну быть не могло.
б) В формуле $z=87-11k$ значение $z$ уменьшается при увеличении $k$. Поэтому наименьшее значение достигается при наибольшем $k=7$:
$$z\ge87-11\cdot7=87-77=10.$$
Меньше 9 таких фруктов быть не может.
в) Самый тяжёлый фрукт находится среди тяжёлых. Обозначим его массу через $W$. Все массы целые, поэтому любой другой тяжёлый фрукт весит не меньше 101 г. Их $n-1$, а общая масса тяжёлых равна $127n$. Следовательно:
$$W+101(n-1)\le127n.$$
Вычтем $101(n-1)$ из обеих частей:
$$W\le127n-101(n-1).$$
Раскроем скобки:
$$W\le127n-101n+101=26n+101.$$
Подставим $n=2k$ и используем $k\le7$:
$$W\le26\cdot2k+101=52k+101\le52\cdot7+101=364+101=465.$$
Проверим достижимость: возьмём 63 фрукта по 94 г, 10 по 100 г, 13 по 101 г и один массой 465 г. Количество:
$$63+10+13+1=87.$$
Средняя масса лёгких — 94 г. У тяжёлых суммарная масса:
$$13\cdot101+465=1313+465=1778\text{ г}.$$
Тяжёлых 14, и:
$$1778/14=127\text{ г}.$$
Общая масса:
$$63\cdot94+10\cdot100+1778=5922+1000+1778=8700\text{ г},$$
$$8700/87=100\text{ г}.$$
Все условия выполнены. Значит, наибольшая возможная масса равна 465 г.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 465 г.