На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?
в) Пусть $B$ $—$ шестое по величине число, а $S$ $—$ среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) нет; в) $24/11$.
Решение
Упорядочим числа: $x_1<x_2<\ldots<x_{11}$. Шестое число обозначим $B=x_6$. Первые шесть имеют сумму $6\cdot5=30$, последние шесть — $6\cdot15=90$. Единственное число, входящее в обе группы, — $B$. Значит, общая сумма $T$ и среднее $S$ равны:
$$
T=30+90-B=120-B;\qquad S=\frac{120-B}{11}.
$$
а) Если $x_1=3$, первые шесть не меньше $3,4,5,6,7,8$, потому что числа натуральные и различны. Тогда:
$$
x_1+\ldots+x_6\ge3+4+5+6+7+8=33>30.
$$
Противоречие. Ответ: нет.
б) Если $S=9$, общая сумма $T=11\cdot9=99$. Поэтому:
$$
120-B=99;\qquad B=120-99=21.
$$
Но первые пять различных натуральных чисел имеют сумму не меньше $1+2+3+4+5=15$. Вместе с $B=21$ это дало бы хотя бы $15+21=36$, тогда как сумма первых шести должна быть 30. Ответ: нет.
в) Подставим формулу среднего в требуемое выражение и приведём к одному знаменателю:
$$
S-B=\frac{120-B}{11}-B
=\frac{120-B-11B}{11}=\frac{120-12B}{11}.
$$
При увеличении $B$ числитель уменьшается на 12 за каждую единицу, знаменатель остаётся положительным. Значит, нужно найти наименьшее возможное $B$.
Если $B\le7$, первые шесть не больше шести наибольших различных натуральных чисел до 7, то есть $2,3,4,5,6,7$. Их сумма:
$$
2+3+4+5+6+7=9+9+9=27<30.
$$
Следовательно, $B\ge8$. Отсюда:
$$
S-B\le\frac{120-12\cdot8}{11}
=\frac{120-96}{11}=\frac{24}{11}.
$$
Проверим достижимость. Возьмём:
$$
1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,40.
$$
Здесь $B=8$, все числа различны. Первые шесть дают $1+3+5+6+7+8=30$. Последние шесть дают:
$$
8+9+10+11+12+40=17+21+52=90.
$$
Общая сумма $120-8=112$, поэтому $S-B=112/11-8=(112-88)/11=24/11$. Верхняя граница достигнута.
Ответ: а) нет; б) нет; в) $\frac{24}{11}$.