В школах $№$1 и $№$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе $№$2 средний балл равнялся 42.
Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№$1 в школу $№$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе $№$1 уменьшился на 10%, средний балл в школе $№$2 также уменьшился на 10%.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе $№$2 изначально?
б) Каждый учащийся школы $№$2, писавший тест, набрал больше баллов, чем перешедший в неё учащийся школы $№$1. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся школы $№$2?
в) Какое наибольшее количество учащихся могло писать тест в школе $№$1 изначально?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) 4 учащихся; б) 102 балла; в) 96 учащихся.
Решение
Пусть в первой школе было $m$ учеников с целым средним баллом $A$, во второй — $n$ учеников со средним 42. Балл перешедшего обозначим $p$. Все баллы натуральные, $m,n\ge2$. Суммы баллов до перехода равны $Am$ и $42n$. Уменьшение на 10% означает новый средний, равный $0{,}9$ исходного; новый средний не обязан быть целым.
а) После прихода ученика во вторую школу сумма $42n+p$, количество $n+1$. Поэтому:
$$
\frac{42n+p}{n+1}=0{,}9\cdot42=37{,}8;
$$
$$
42n+p=37{,}8n+37{,}8;\qquad p=37{,}8-4{,}2n;
$$
$$
5p=189-21n=21(9-n).
$$
Поскольку $p>0$, целое $n<9$, то есть $2\le n\le8$. Для целого $p$ число $21(9-n)$ должно делиться на 5. Множитель 21 не делится на 5, значит, $9-n$ кратно 5. Оно находится между 1 и 7, поэтому равно 5:
$$
9-n=5;\quad n=4;\quad p=21\cdot5/5=21.
$$
Проверим возможность первой школы: возьмём баллы $21,13,13,13,15$. Их сумма $21+39+15=75$, исходный средний $75/5=15$. После ухода ученика с 21 баллом средний $(75-21)/4=54/4=13{,}5=0{,}9\cdot15$. Во второй школе можно взять четверых по 42: после прихода $p=21$ средний $(168+21)/5=189/5=37{,}8$. Ответ: изначально 4 ученика во второй школе.
б) Их исходная сумма $4\cdot42=168$. Каждый набрал больше 21, то есть не меньше 22. Чтобы один набрал как можно больше, трём другим оставим минимально возможные баллы:
$$
\text{наибольший балл}\le168-3\cdot22=168-66=102.
$$
Набор $22,22,22,102$ достигает границы: его сумма 168, каждый балл больше 21. После прихода ученика с 21 сумма и средний те же, что в а), а первая школа подходит из предыдущего примера. Ответ: 102 балла.
в) Запишем уменьшение среднего первой школы:
$$
\frac{Am-21}{m-1}=0{,}9A;
\qquad10Am-210=9A(m-1);
$$
$$
10Am-210=9Am-9A;\qquad Am+9A=210;
\qquad A(m+9)=210.
$$
После ухода все оставшиеся баллы натуральные, значит, их среднее не меньше 1:
$$
0{,}9A\ge1;\qquad A\ge\frac{10}{9}.
$$
Исходный средний $A$ целый, поэтому $A\ge2$. Выразим количество:
$$
m+9=\frac{210}{A}\le\frac{210}{2}=105;
\qquad m\le105-9=96.
$$
При $m=96,A=2$ нужна сумма $96\cdot2=192$. Возьмём одного перешедшего с 21 баллом, 94 ученика с 1 баллом и одного с 77 баллами. Количество $1+94+1=96$, сумма $21+94+77=192$. После ухода остаётся 95 учеников с суммой $94+77=171$:
$$
\frac{171}{95}=1{,}8=0{,}9\cdot2.
$$
Для второй школы подходит набор из четырёх учеников по 42 балла, проверенный в а). Таким образом, граница 96 достигается.
Ответ: а) 4 ученика; б) 102 балла; в) 96 учеников.