В школах $№$1 и $№$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№$1 в школу $№$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе $№$1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе $№$1 уменьшился на 10%, средний балл в школе $№$2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе $№$2 равняться 7?
в) Средний балл в школе $№$1 уменьшился на 10%, средний балл в школе $№$2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе $№$2.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
Решение
а) Этот пункт не требует, чтобы средние изменились на 10%. Возьмём в первой школе двух учеников с баллами 19 и 1. Исходный средний:
$$
\frac{19+1}{2}=10.
$$
Пусть уйдёт ученик с 19 баллами. Останется один с 1 баллом, и средний станет 1 — в десять раз меньше 10. Во второй школе изначально семь учеников, например по 1 баллу: средний целый. Всего $2+7=9$ учеников, как требуется. Ответ: да.
Для б) и в) обозначим исходные количества учеников $m,n$, исходные целые средние $A,B$, балл перешедшего $p$. Тогда $m+n=9$, $m,n\ge2$, поэтому $2\le m,n\le7$. Изменение среднего на минус 10% — умножение на $0{,}9$.
В первой школе после ухода сумма $Am-p$, количество $m-1$:
$$
\frac{Am-p}{m-1}=0{,}9A;
\quad10Am-10p=9Am-9A;
\quad10p=Am+9A=A(m+9).
$$
Во второй школе после прихода:
$$
\frac{Bn+p}{n+1}=0{,}9B;
\quad10Bn+10p=9Bn+9B;
\quad10p=B(9-n).
$$
Так как $9-n=m$, необходимые условия принимают вид:
$$
p=\frac{Bm}{10};\qquad A=\frac{Bm}{m+9},\qquad2\le m\le7.
$$
б) При $B=7$ число $p=7m/10$ должно быть целым. Поскольку 7 и 10 взаимно просты, $m$ должно делиться на 10, но ни одно число от 2 до 7 не делится. Ответ: нет.
в) Исходное среднее $B$ — положительное целое. Проверим по порядку все значения меньше 5, не пропуская ни одного.
Если $B=1$ или $B=3$, в дроби $Bm/10$ множитель $B$ взаимно прост с 10. Поэтому $m$ должно делиться на 10, что невозможно при $2\le m\le7$.
Если $B=2$ или $B=4$, для целого $Bm/10$ число $m$ должно делиться на 5. В диапазоне 2–7 подходит только $m=5$. Однако тогда исходный средний первой школы:
$$
B=2:\quad A=\frac{2\cdot5}{5+9}=\frac{10}{14}=\frac57\notin\mathbb Z;
$$
$$
B=4:\quad A=\frac{4\cdot5}{5+9}=\frac{20}{14}=\frac{10}{7}\notin\mathbb Z.
$$
Оба случая нарушают целочисленность исходного среднего. Значения 1,2,3,4 полностью исключены.
Для $B=5$ возьмём $m=6,n=3$:
$$
p=\frac{5\cdot6}{10}=3;\qquad A=\frac{5\cdot6}{6+9}=\frac{30}{15}=2.
$$
Построим баллы: в первой школе $3,1,2,2,2,2$, сумма $3+1+8=12$, средний $12/6=2$. После ухода 3 сумма 9, средний $9/5=1{,}8=0{,}9\cdot2$. Во второй школе три ученика по 5, сумма 15. После прихода 3:
$$
\frac{15+3}{3+1}=\frac{18}{4}=4{,}5=0{,}9\cdot5.
$$
Все баллы натуральные, исходные средние целые. Значит, минимум достигнут.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5 баллов.