На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) нет; в) $10{,}5$.
Решение
Упорядочим десять различных натуральных чисел:
$$
x_1<x_2<\ldots<x_{10}.
$$
Среднее первых шести равно 5, значит, их сумма $6\cdot5=30$. Среднее последних шести равно 15, значит, их сумма $6\cdot15=90$. В эти две группы одновременно входят $x_5$ и $x_6$. Поэтому при сложении сумм они учитываются дважды. Обозначим $u=x_5$, $v=x_6$, а общую сумму — $T$:
$$
T=30+90-u-v=120-u-v.
$$
а) Если наименьшее число равно 3, следующие пять различных натуральных чисел не меньше $4,5,6,7,8$. Тогда сумма первых шести не меньше:
$$
3+4+5+6+7+8=11+11+11=33>30.
$$
Противоречие. Ответ: нет.
б) Среднее 11 потребовало бы $T=10\cdot11=110$. Тогда:
$$
120-u-v=110;\qquad u+v=10.
$$
Но пятое по возрастанию натуральное число не меньше 5, шестое — не меньше 6. Значит, $u+v\ge5+6=11$. Получить 10 нельзя. Ответ: нет.
в) Чтобы увеличить $T=120-u-v$, нужно уменьшить $u+v$. Докажем более точную нижнюю границу $u+v\ge15$.
Предположим обратное: $u+v\le14$. Поскольку $v\ge u+1$, получаем $2u+1\le14$, откуда целое $u\le6$. Четыре первых числа различны и меньше $u$, поэтому максимально они могут быть $u-4,u-3,u-2,u-1$. Их сумма не больше:
$$
(u-4)+(u-3)+(u-2)+(u-1)=4u-10.
$$
Тогда сумма первых шести ограничена сверху:
$$
30=x_1+x_2+x_3+x_4+u+v
\le4u-10+(u+v)
\le4\cdot6-10+14=28.
$$
Получили $30\le28$, что невозможно. Значит, $u+v\ge15$ и:
$$
T\le120-15=105;\qquad\frac{T}{10}\le\frac{105}{10}=10{,}5.
$$
Для достижения границы возьмём:
$$
1,3,5,6,7,8,9,10,11,45.
$$
Все различны. Проверим обе суммы:
$$
1+3+5+6+7+8=4+11+15=30;
$$
$$
7+8+9+10+11+45=15+19+56=90.
$$
Перекрывающиеся числа $7$ и $8$ дают сумму 15, поэтому общая сумма $120-15=105$, среднее 10,5.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 10,5.