ФИПИ A68DFB — Суммы и среднее арифметическое

Главная трудность — условие о средних любых выбранных чисел. Среднее 4 чисел целое тогда и только тогда, когда их сумма делится на 4. Используем это, чтобы сравнить два числа на доске. Возьмём любые два числа $a,b$ и ещё 3 других чисел $c_{1},c_{2},c_{3}$. Их хватает: всего чисел десять, а нам требуется не больше семи. У наборов из 4 чисел с общей частью получаем две суммы, кратные 4: $$a+c_{1}+c_{2}+c_{3}=4p,\qquad b+c_{1}+c_{2}+c_{3}=4q,$$ где $p,q$ — целые числа (соответствующие средние). Вычтем второе равенство из первого. Общие слагаемые сокращаются: $$a-b=4p-4q=4(p-q).$$ Следовательно, разность любых двух записанных чисел делится на 4. Возьмём любые два числа $a,b$ и ещё 4 других чисел $c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}$. Их хватает: всего чисел десять, а нам требуется не больше семи. У наборов из 5 чисел с общей частью получаем две суммы, кратные 5: $$a+c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}=5p,\qquad b+c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4}=5q,$$ где $p,q$ — целые числа (соответствующие средние). Вычтем второе равенство из первого. Общие слагаемые сокращаются: $$a-b=5p-5q=5(p-q).$$ Следовательно, разность любых двух записанных чисел делится на 5. Разность делится на 4 и 5. Числа 4 и 5 взаимно просты, поэтому разность делится и на их произведение: $$4\cdot5=20.$$ Значит, все десять чисел имеют одинаковый остаток при делении на 20. Проверим и обратное утверждение, чтобы затем законно строить примеры. Пусть числа имеют вид $20q_i+r$ с одним остатком $r$. Среднее любых $k$ таких чисел равно: $$\frac{(20q_1+r)+\ldots+(20q_k+r)}k=\frac{20(q_1+\ldots+q_k)+kr}k=\frac{20}k(q_1+\ldots+q_k)+r.$$ Для каждого требуемого $k$ коэффициент $20/k$ целый. Поэтому это среднее целое. Таким образом, найденное условие на остатки не только необходимо, но и достаточно. а) Могут ли одновременно присутствовать 403 и 2013? Их разность обязана делиться на 20. Вычислим её: $$2013-403=1610.$$ Но: $$1610=20\cdot80+10.$$ Остаток 10 ненулевой, поэтому разность не делится на 20. Одновременно эти два числа на доске стоять не могут. б) Может ли на доске быть квадрат, если есть число 403? Найдём общий остаток: $$403=20\cdot20+3.$$ Значит, все числа должны иметь остаток 3 по модулю 20. Проверим возможные остатки квадратов. Любое целое число имеет вид $20q+r$, где $r$ — одно из чисел от 0 до 19. После возведения в квадрат: $$(20q+r)^2=400q^2+40qr+r^2.$$ Первые два слагаемых делятся на 20, поэтому остаток квадрата совпадает с остатком $r^2$. Для $r=0,1,\ldots,19$ эти остатки последовательно равны: $$0,1,4,9,16,5,16,9,4,1,0,1,4,9,16,5,16,9,4,1.$$ Среди них нет 3. Поэтому ни один квадрат натурального числа не может иметь требуемый остаток. Ответ — нет. в) Теперь среди чисел есть 1. Все остальные также должны иметь остаток 1 при делении на 20. Значит, для искомого квадрата $n^2$ нужно: $$n^2=20q+1.$$ По условию $n>1$. Переберём натуральные $n$ по возрастанию и каждый раз вычислим квадрат и остаток: $$2^2=4=20\cdot0+4.$$ $$3^2=9=20\cdot0+9.$$ $$4^2=16=20\cdot0+16.$$ $$5^2=25=20\cdot1+5.$$ $$6^2=36=20\cdot1+16.$$ $$7^2=49=20\cdot2+9.$$ $$8^2=64=20\cdot3+4.$$ $$9^2=81=20\cdot4+1.$$ При $n=2,3,4,5,6,7,8$ остаток не равен 1. Первый подходящий вариант — $n=9$, потому что $81=20\cdot4+1$. Остаётся проверить, что он совместим со всеми условиями. Возьмём набор: $$1,21,41,61,81,101,121,141,161,181.$$ В нём десять различных натуральных чисел, каждое даёт остаток 1 по модулю 20. По доказанному в начале все средние четырёх и пяти выбранных чисел целые. Числа 1 и $9^2=81$ в наборе есть. Значит, $n=9$ действительно достижимо. Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.