На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12.
а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться 14?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 8,4?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 8,9.
Решение
Пусть числа упорядочены: $x_1<x_2<\ldots<x_{10}$. Сумма шести наименьших равна $6\cdot6=36$, шести наибольших — $6\cdot12=72$. В обе группы входят $u=x_5$ и $v=x_6$. При сложении сумм они посчитаны дважды, поэтому общая сумма $T$ равна:
$$
T=36+72-u-v=108-u-v.
$$
а) Если наибольшее число 14, то шесть наибольших различных натуральных чисел не могут быть больше $9,10,11,12,13,14$ соответственно. Их сумма ограничена сверху:
$$
9+10+11+12+13+14=23+23+23=69<72.
$$
Значит, сумма 72 не получается. Ответ: нет.
Для б) и в) нам нужно ограничить $u+v$ сверху. После $v$ находятся ещё четыре различных целых числа, поэтому они не меньше $v+1,v+2,v+3,v+4$. Следовательно:
$$
72=u+v+x_7+x_8+x_9+x_{10}
\ge u+v+(v+1)+(v+2)+(v+3)+(v+4)
=u+5v+10.
$$
Вычитаем 10:
$$
u+5v\le62.
$$
Предположим, что $u+v\ge20$. Так как $u<v$, имеем $u\le v-1$, откуда:
$$
20\le u+v\le2v-1;\qquad2v\ge21;\qquad v\ge11.
$$
Тогда:
$$
u+5v=(u+v)+4v\ge20+4\cdot11=64>62.
$$
Противоречие. Значит, целая сумма $u+v$ не больше 19.
б) Среднее 8,4 означало бы общую сумму $10\cdot8{,}4=84$. Из формулы общей суммы следовало бы:
$$
108-u-v=84;\qquad u+v=108-84=24.
$$
Но 24 больше доказанной границы 19. Ответ: нет.
в) Для наименьшей общей суммы нужно наибольшее $u+v$. Полученная граница даёт:
$$
T=108-u-v\ge108-19=89;
\qquad\text{среднее}\ge\frac{89}{10}=8{,}9.
$$
Проверим достижимость набором:
$$
1,2,6,8,9,10,11,12,13,17.
$$
Все десять чисел различны. Первые шесть:
$$
1+2+6+8+9+10=3+14+19=36.
$$
Последние шесть:
$$
9+10+11+12+13+17=19+23+30=72.
$$
Общие числа $9$ и $10$ дают сумму 19, поэтому $T=108-19=89$. Минимум среднего 8,9 достигнут.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 8,9.