В школах $№$1 и $№$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе $№$1 средний балл равнялся 18.
Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы $№$1 в школу $№$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе $№$1 вырос на 10%, средний балл в школе $№$2 также вырос на 10%.
а) Сколько учащихся могло писать тест в школе $№$1 изначально?
б) В школе $№$1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?
в) Известно, что изначально в школе $№$2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе $№$2 изначально?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $6$; б) $89$; в) $19$.
Решение
Средний балл — сумма баллов, делённая на число учеников. Поэтому, если учеников $N$ и средний балл 18, сумма баллов равна $18N$. Обозначим балл перешедшего ученика через $p$.
а) Увеличение на 10% означает умножение на $1+10/100=1{,}1$. Новый средний в первой школе:
$$
18\cdot1{,}1=19{,}8.
$$
После ухода ученика сумма стала $18N-p$, количество — $N-1$. Запишем условие среднего и избавимся от знаменателя:
$$
\frac{18N-p}{N-1}=19{,}8;\qquad18N-p=19{,}8(N-1);
$$
$$
18N-p=19{,}8N-19{,}8;\qquad p=19{,}8-1{,}8N;
$$
$$
5p=99-9N=9(11-N).
$$
Балл $p$ положителен, поэтому $11-N>0$ и $N\le10$. По условию $N\ge2$. Чтобы $p$ был целым, число $9(11-N)$ должно делиться на 5. Число 9 не кратно 5, значит, $11-N$ кратно 5. При $2\le N\le10$ величина $11-N$ лежит от 1 до 9; единственное кратное 5 здесь равно 5:
$$
11-N=5;\quad N=6;\quad5p=9\cdot5=45;\quad p=9.
$$
Проверим, что обе школы могут выполнить условия. Первая: баллы $9,19,20,20,20,20$, сумма $108$, средний $108/6=18$. После ухода 9 сумма $99$, средний $99/5=19{,}8$. Вторая: четыре ученика по 6 баллов, средний 6; после прихода:
$$
\frac{4\cdot6+9}{5}=\frac{33}{5}=6{,}6=1{,}1\cdot6.
$$
Значит, изначально в первой школе было 6 учеников.
б) Теперь шесть баллов первой школы различны, их сумма по-прежнему $18\cdot6=108$, и один из них равен 9. Чтобы один ученик получил наибольший балл, остальным пяти нужно оставить наименьшую возможную сумму. Они обязаны включать 9; четыре других различных положительных числа не меньше $1,2,3,4$. Поэтому:
$$
\text{сумма остальных пяти}\ge1+2+3+4+9=19;
$$
$$
\text{наибольший балл}\le108-19=89.
$$
Набор $1,2,3,4,9,89$ достигает этой границы. После ухода 9 остаётся сумма 99, а для второй школы подходит предыдущий пример. Ответ: 89 баллов.
в) Пусть во второй школе изначально $m>10$ учеников и целый средний $q$. После прихода ученика с 9 баллами:
$$
\frac{qm+9}{m+1}=1{,}1q;\qquad10qm+90=11q(m+1);
$$
$$
10qm+90=11qm+11q;\qquad90=qm+11q=q(m+11).
$$
Значит, $m+11$ — делитель 90 и больше 21. Полный список положительных делителей 90: $1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90$ (из разложения $90=2\cdot3^2\cdot5$). Наименьший больше 21 — 30:
$$
m+11=30;\quad m=19;\quad q=90/30=3.
$$
Пример: 19 учеников по 3 балла. После прихода:
$$
\frac{19\cdot3+9}{20}=\frac{57+9}{20}=\frac{66}{20}=3{,}3=1{,}1\cdot3.
$$
Ответ: а) 6 учеников; б) 89 баллов; в) 19 учеников.