В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем
в предыдущий день.
а) Может ли $n$ быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) да; в) 34.
Решение
В каждый день разрешены только натуральные числа меньше 6, то есть 1,2,3,4,5. Условия относятся отдельно к сумме и к количеству за день.
а) Можно даже семь дней. Ниже запись, например, $7\cdot1+2\cdot2$ означает семь записанных единиц и две двойки, а не одно число 11. Проверим каждый день:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{день}&\text{количество}&\text{состав и сумма}\\\hline
1&10&10\cdot1=10\\
2&9&7\cdot1+2\cdot2=7+4=11\\
3&8&4\cdot1+4\cdot2=4+8=12\\
4&7&1+6\cdot2=1+12=13\\
5&6&4\cdot2+2\cdot3=8+6=14\\
6&5&5\cdot3=15\\
7&4&4\cdot4=16
\end{array}
$$
Количество каждый раз уменьшается, сумма растёт, все записанные числа от 1 до 5. Поэтому семь дней удовлетворяют вопросу пункта а). Ответ: да.
б) Нужно, чтобы в первый день было много маленьких чисел, а потом достаточно больших. Приведём полностью определённый пример; первый день — сто единиц. Его среднее $100/100=1$, оно меньше и 2, и 3. Затем:
$$
\begin{array}{c|c|c}
\text{день}&\text{количество}&\text{состав и сумма}\\\hline
1&100&100\cdot1=100\\
2&99&7\cdot1+1\cdot3+91\cdot5=7+3+455=465\\
3&98&6\cdot1+92\cdot5=6+460=466\\
4&97&4\cdot1+1\cdot3+92\cdot5=4+3+460=467\\
5&96&3\cdot1+93\cdot5=3+465=468\\
6&95&1+3+93\cdot5=1+3+465=469\\
7&94&94\cdot5=470
\end{array}
$$
Все количества уменьшаются, суммы строго увеличиваются. Среднее всех чисел — общая сумма, делённая на общее количество, а не среднее семи дневных средних. Считаем:
$$
N=100+99+98+97+96+95+94=\frac{7(100+94)}2=7\cdot97=679;
$$
$$
T=100+465+466+467+468+469+470
=100+\frac{6(465+470)}2=100+3\cdot935=2905.
$$
Для сравнения с 4 умножим 4 на положительный знаменатель:
$$
4\cdot679=2716<2905;\qquad\frac{2905}{679}>4.
$$
Ответ: да.
в) Начальная сумма равна 5. Так как каждое число не меньше 1, начальное количество не больше 5. При ежедневном уменьшении хотя бы на единицу в последний, $n$-й день количество не больше $5-n+1$. А каждое число не больше 5, поэтому последняя сумма $S_n$ не больше:
$$
S_n\le5(5-n+1).
$$
Суммы — целые и каждый день строго растут, поэтому последняя не меньше начальной плюс $n-1$:
$$
5+n-1\le S_n\le5(5-n+1);
$$
$$
5+n-1\le30-5n;\quad6n\le26;\quad n\le\frac{26}6.
$$
Таким образом, целое $n$ не больше 4. Это ограничивает все возможные количества дней, а не только наш пример. Если последняя сумма не больше $L=5(5-n+1)$, предыдущая не больше $L-1$, предпредыдущая — не больше $L-2$ и т.д. Начальная сумма при этом остаётся ровно 5. Получаем верхние границы общей суммы для каждого $n$:
$$
\begin{array}{c|c|c}
n&L&\text{общая сумма не больше}\\\hline
1&5&5\\2&20&5+20=25\\3&15&5+14+15=34\\4&10&5+8+9+10=32
\end{array}
$$
Максимальная граница 34 получается при трёх днях. Она достигается: в первый день пять единиц (количество 5, сумма 5); во второй — $5,5,3,1$ (количество 4, сумма $5+5+3+1=14$); в третий — $5,5,5$ (количество 3, сумма 15). Суммы $5<14<15$, количества $5>4>3$; общая сумма $5+14+15=34$.
Ответ: а) да; б) да; в) 34.