Сложение дробей с разными знаменателями

При сложении дробей с разными знаменателями сначала приводят их к общему виду, а затем складывают числители. Вычитание выполняют по тому же принципу: находят общее число внизу, заменяют дроби равными им и вычитают числители, оставляя общий знаменатель.

Что нужно знать о сложении и вычитании дробей

Дробь, числитель и знаменатель

Дробь записывают в виде

где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель. Нижнее число показывает, на сколько равных частей разделили целое, а верхнее — сколько таких частей взяли.

Например, в дроби

число $7$ является знаменателем, а число $3$ — числителем. Это означает, что целое разделили на семь равных частей и взяли три из них.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Если числитель и знаменатель имеют общий делитель, дробь можно сократить:

При этом значение дроби не меняется.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Если знаменатели одинаковые, складывают или вычитают только числители, а нижнее число оставляют без изменений:

Например:

Складывать или вычитать знаменатели нельзя. Выражение

неверно: общий знаменатель должен остаться равным $9$.

Правило сложения дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно:

1. найти общий знаменатель;
2. привести каждую дробь к нему;
3. сложить числители;
4. записать результат над общим знаменателем;
5. сократить дробь, если это возможно.

Для вычитания порядок такой же, но вместо сложения верхних чисел выполняют их вычитание.

В общем виде:

Произведение $bd$ подходит как общий знаменатель, но не всегда является наименьшим. Поэтому на практике удобнее по возможности находить наименьшее общее кратное.

Как найти общий знаменатель

Общий знаменатель должен делиться на каждый из исходных. Часто в качестве него используют произведение:

Число $15$ подходит, потому что делится и на $3$, и на $5$.

Однако произведение не всегда является наименьшим общим знаменателем. Для более удобных вычислений находят НОК — наименьшее общее кратное.

Например, для чисел $12$ и $18$:

• кратные $12$: $12,24,36,48,\dots$;
• кратные $18$: $18,36,54,\dots$.

Наименьшее общее кратное равно $36$. Значит, его можно использовать для дробей со знаменателями $12$ и $18$.

Как привести дроби к общему знаменателю

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно определить, во сколько раз он больше исходного, и умножить на это число и числитель, и знаменатель:

Например, приведём дробь $\frac{5}{12}$ к знаменателю $36$. Поскольку

верхнее и нижнее числа умножают на $3$:

Для дроби $\frac{7}{18}$:

поэтому

После приведения обе дроби имеют одинаковый знаменатель и готовы к сложению или вычитанию.

Как складывать дроби с разными знаменателями

Пошаговый алгоритм сложения

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, действуйте по следующей схеме:

1. Разложите знаменатели на множители или найдите их общие кратные.
2. Выберите общий, желательно наименьший, знаменатель.
3. Определите дополнительный множитель для каждой дроби.
4. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
5. Сложите получившиеся числители.
6. Запишите сумму над общим знаменателем.
7. Сократите дробь, если верхнее и нижнее числа имеют общий делитель.
8. Если результат является неправильной дробью, при необходимости выделите целую часть.

Например, в выражении

общий знаменатель можно найти как НОК чисел $3$ и $8$:

Тогда

Теперь нижние числа одинаковые:

Получилась неправильная дробь. Выделим целую часть:

Примеры сложения через общий знаменатель и НОК

Рассмотрим сумму

Наименьший общий знаменатель равен $36$. Приведём дроби:

Складываем верхние числа:

Числа $29$ и $36$ не имеют общих делителей, поэтому ответ не сокращается:

Если одно нижнее число делится на другое, общий знаменатель найти проще. Например:

Число $20$ делится на $10$, поэтому его можно сразу взять за общий знаменатель:

Тогда

Как вычитать дроби с разными знаменателями

Пошаговый алгоритм вычитания

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно:

1. найти общий знаменатель;
2. привести обе дроби к нему;
3. вычесть второе верхнее число из первого;
4. записать результат над общим знаменателем;
5. сократить дробь, если это возможно;
6. преобразовать неправильную дробь в смешанное число, если требуется.

Важно соблюдать порядок: при вычитании

из числителя первой дроби вычитают числитель второй. Нельзя менять их местами без изменения знака результата.

Примеры вычитания дробей

Вычислим:

Наименьший общий знаменатель для $10$ и $6$ равен $30$:

Выполняем вычитание:

Сократим дробь на $2$:

Ответ:

Ещё один пример:

Общий знаменатель равен $12$:

Поэтому

Сложение и вычитание смешанных чисел

Смешанное число состоит из целой части и правильной дроби, например:

При действиях со смешанными числами можно отдельно работать с целыми и дробными частями, а можно сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби. Второй способ часто удобнее, особенно при вычитании.

Сложение смешанных чисел

Рассмотрим пример:

Сначала складываем целые части:

Затем складываем дробные части. Их общий знаменатель равен $12$:

Получаем:

Теперь прибавляем целую часть:

Следовательно,

Тот же пример можно решить через неправильные дроби:

Тогда

Вычитание смешанных чисел с переходом через целую часть

Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, из целой части занимают одну единицу.

Рассмотрим:

Дробь $\frac{1}{5}$ меньше дроби $\frac{3}{4}$, поэтому представим одну целую как пять пятых:

Теперь можно вычесть дробные части:

Вычитаем целые части:

Для дробных частей общий знаменатель равен $20$:

Поэтому

Итог:

Можно решить этот пример и через неправильные дроби:

Тогда

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: примеры и порядок действий

Пример последовательного выполнения нескольких действий

Вычислим выражение:

Все действия выполняются слева направо, но сначала удобно привести все дроби к одному знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $2$, $4$ и $3$ равен $12$:

Подставим полученные дроби:

Теперь нижняя часть одинакова, поэтому выполняем действия с верхними числами:

Ответ:

Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия в них. Например:

Сначала вычисляем сумму в скобках:

Затем вычитаем:

Сокращение результата и перевод неправильной дроби в смешанное число

После сложения или вычитания результат нужно проверить. Если верхнее и нижнее числа имеют общий делитель, дробь сокращают.

Например:

Общий знаменатель равен $30$:

Складываем:

В этом случае сокращение невозможно.

Другой пример:

Приведём дроби к знаменателю $12$:

Получаем:

Число $19$ не делится на $12$, поэтому дробь не сокращается. Выделяем целую часть:

Таким образом, неправильная дробь с числителем, большим знаменателя, может быть записана в виде смешанного числа.

Типичные ошибки при сложении и вычитании дробей

Нельзя складывать или вычитать знаменатели

Одна из самых распространённых ошибок — действие сразу с числителями и знаменателями:

Правильно сначала привести дроби к общему виду:

Тогда

При одинаковых знаменателях нижнее число также не складывают:

а не $\frac{5}{14}$.

Нельзя выполнять действие с числителями до приведения к общему знаменателю

При разных знаменателях числители относятся к разным по размеру долям целого. Поэтому их нельзя складывать или вычитать напрямую.

Например, в выражении

нельзя получить промежуточный результат $\frac{3}{\dots }$, пока дроби не приведены к одному виду. Общий знаменатель равен $12$:

Теперь действие можно выполнить:

При вычитании важно также не перепутать порядок числителей:

а не $\frac{3-10}{12}$.

Нужно сокращать результат и учитывать целую часть

Даже если приведение к общему знаменателю выполнено правильно, решение может остаться незавершённым. Например:

Общий знаменатель равен $24$:

Сумма:

Здесь результат уже правильный и не сокращается.

А в выражении

сокращение также невозможно. Но если получилось, например,

нужно продолжить вычисление:

Если числитель больше знаменателя, результат можно преобразовать:

Нельзя оставлять такой ответ без преобразования, если требуется записать его в виде смешанного числа.

Как проверить решение

Проверка помогает обнаружить ошибки в общем знаменателе, дополнительных множителях и действиях с числителями.

1. Проверьте общий знаменатель. Он должен делиться на каждый исходный.
2. Убедитесь, что при приведении дроби к общему виду на одно и то же число умножены и числитель, и знаменатель.
3. Пересчитайте действие с числителями после того, как нижние числа стали одинаковыми.
4. Проверьте возможность сокращения результата.
5. Если получилась неправильная дробь, выполните деление числителя на знаменатель и проверьте целую и дробную части.

Результат можно проверить обратным действием. Если было сложение, вычтите из суммы один из компонентов. Например, для равенства

проверка выглядит так:

Если было вычитание, к разности прибавляют вычитаемое. Например:

Проверим:

Получилась исходная дробь, значит, вычисление выполнено правильно.