Дроби: виды, числитель и знаменатель, действия и правила решения

Дробь выражает часть целого или результат деления: в записи $\frac{a}{b}$ $a$ называют числителем, а $b$ — знаменателем, причём $b\ne 0$. Дроби бывают обыкновенными и десятичными; их можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить.

Что такое дробь и какие бывают дроби

Доля целого и связь дроби с делением

Если целое разделили на несколько равных частей и взяли одну или несколько из них, такую величину можно записать дробью. Например, $\frac{3}{8}$ означает, что целое разделили на 8 равных частей и взяли 3 такие части.

Дробь также является записью деления:

Например:

Нижняя часть дроби показывает, на сколько равных частей разделили целое, а верхняя — сколько таких частей взяли. Поэтому:

— это одна четверть, а

— три четверти того же целого.

Дробь может быть меньше единицы, равна единице или больше единицы:

• если числитель меньше знаменателя, дробь меньше 1: $\frac{3}{7}<1$;
• если оба элемента равны, дробь равна 1: $\frac{6}{6}=1$;
• если верхний элемент больше нижнего, дробь больше 1: $\frac{9}{4}>1$.

Знаменатель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено.

Обыкновенные, десятичные, правильные и неправильные дроби

Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя, записанных один над другим:

Дробь, записанную через запятую, называют десятичной:

Правильная дробь имеет числитель, меньший знаменателя. Она всегда меньше единицы:

Неправильная дробь имеет верхнюю часть, большую или равную нижней:

Неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа — целой части и правильной дроби:

Запись $1\frac{3}{5}$ означает одну целую и ещё три пятых.

Числитель и знаменатель: где находится каждый элемент дроби

В записи

числитель находится сверху, а знаменатель — снизу. Горизонтальная черта между ними называется дробной чертой и означает действие деления.

Числитель дроби: верхняя часть записи и её значение

Числитель дроби — это верхний элемент. Он показывает, сколько частей, указанных знаменателем, взяли.

Например, в дроби

числитель — 5. Это означает, что из 12 равных частей целого взяли 5.

Он может быть:

• меньше знаменателя: $\frac{2}{9}$;
• равен знаменателю: $\frac{7}{7}$;
• больше знаменателя: $\frac{13}{6}$.

Если нижняя часть не изменяется, увеличение верхней увеличивает значение дроби:

Знаменатель дроби: нижняя часть записи и его значение

Знаменатель находится под дробной чертой. Он показывает, на сколько равных частей разделили целое.

В дроби

знаменатель — 12: целое разделили на 12 равных частей.

При одном и том же числителе увеличение знаменателя уменьшает значение положительной дроби:

Это происходит потому, что чем на большее количество частей делят целое, тем меньше каждая отдельная часть.

Нижняя часть дроби не может быть равна нулю:

не имеет смысла.

Основные свойства и преобразования дробей

Равные дроби и основное свойство дроби

Равные дроби могут иметь разные записи, но одинаковое значение:

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое значение, дробь не изменится:

Например:

Обратное преобразование также сохраняет значение:

Умножать или делить нужно одновременно оба элемента дроби. Изменение только одного из них меняет её значение.

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на общий делитель, отличный от единицы.

Например:

Значения 24 и 36 делятся на 12:

Дробь $\frac{2}{3}$ уже нельзя сократить, потому что у 2 и 3 нет общего делителя, кроме 1.

Иногда дробь сокращают поэтапно:

Перед сокращением можно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Сокращать дробь полезно до выполнения действий: так вычисления становятся проще.

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы сложить, вычесть или сравнить дроби с разными знаменателями, их часто приводят к общему знаменателю.

Например, для дробей

подходит общий знаменатель 24, потому что 24 делится и на 3, и на 8:

Теперь дроби имеют одинаковые нижние части:

В качестве общего знаменателя подходит любое общее кратное исходных знаменателей, но удобнее использовать наименьшее. В данном случае НОК 3 и 8 равен 24.

Преобразование неправильной дроби в смешанное число и обратно

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число, числитель делят на знаменатель с остатком. Частное становится целой частью, остаток — верхней частью дробной части, а нижняя сохраняется.

Например:

Делим 17 на 5:

Значит:

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, целую часть умножают на знаменатель, к результату прибавляют числитель, а знаменатель оставляют прежним:

Как сравнивать дроби

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями или числителями

Если у положительных дробей одинаковые знаменатели, больше та дробь, у которой больше числитель:

Если числители одинаковые, больше та дробь, у которой меньше знаменатель:

Для сравнения дроби с единицей сопоставляют её верхнюю и нижнюю части:

Сравнение дробей с разными знаменателями

Есть несколько способов сравнить дроби с разными знаменателями.

Первый способ — привести их к общему знаменателю:

Общий знаменатель — 12:

Следовательно:

Второй способ — сравнить дроби методом перекрёстного умножения. Для положительных дробей

сравнивают произведения $a·d$ и $c·b$. Например:

Вычислим:

Так как $56<60$, то:

Сравнение десятичных дробей

Сначала сравнивают целые части. Если они одинаковые, сравнивают цифры после запятой слева направо.

Например:

потому что 4 больше 3.

При одинаковой целой части:

поскольку в десятых цифры одинаковы, а в сотых 8 больше 3.

Количество цифр после запятой можно выровнять нулями:

Добавление нулей справа после последней значащей цифры не изменяет значение десятичной дроби.

Действия с дробями

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, складывают числители, а знаменатель оставляют прежним:

Например:

При вычитании действуют так же:

После вычисления результат по возможности сокращают или выделяют целую часть:

Знаменатели складывать или вычитать нельзя. Ошибка:

Правильный результат:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала дроби приводят к общему знаменателю, затем выполняют действие с числителями.

Пример:

Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 — 12:

Теперь вычитаем:

Другой пример:

НОК 10 и 15 равен 30:

Поэтому:

Умножение дробей

При умножении дробей верхние части перемножают между собой, а нижние — между собой:

Например:

До умножения можно выполнить сокращение:

Сокращать можно числитель одной дроби со знаменателем другой, потому что все множители входят в одно произведение.

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, первую дробь умножают на перевёрнутую вторую:

Перевёрнутой называют дробь, у которой верхняя и нижняя части поменялись местами.

Например:

Делитель не может быть равен нулю. Поэтому выражение

не имеет смысла: дробь $\frac{0}{7}$ равна нулю, а деление на ноль невозможно.

Действия со смешанными числами и целыми числами

Смешанные числа перед умножением или делением обычно переводят в неправильные дроби:

Например:

При сложении и вычитании смешанных чисел можно либо перевести их в неправильные дроби, либо отдельно работать с целыми и дробными частями. Универсальнее первый способ.

Общий знаменатель равен 12:

Целое можно представить дробью со знаменателем 1:

Поэтому:

Действия с десятичными дробями

Сложение и вычитание десятичных дробей

При сложении и вычитании десятичных дробей запятые записывают одну под другой. Если после запятой разное количество цифр, можно добавить справа нули.

Пример:

Запишем $12,7$ как $12,70$:

При вычитании:

Важно сохранять разряды: единицы должны находиться под единицами, десятые — под десятыми, сотые — под сотыми.

Умножение и деление десятичных дробей

При умножении сначала временно убирают запятые и перемножают натуральные числа. Затем в результате отделяют справа столько знаков после запятой, сколько их было во всех множителях вместе.

Например:

Перемножим 24 и 15:

Всего в множителях две цифры после запятой, поэтому:

При делении на натуральное число запятую в частном ставят после выполнения деления целой части:

Чтобы разделить на десятичную дробь, делитель превращают в натуральный, умножив делимое и делитель на 10, 100, 1000 и так далее:

Запятая в обоих значениях сдвигается на один разряд вправо, поэтому частное не меняется.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную и обратно

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, числитель делят на знаменатель:

Если после сокращения в знаменателе остаются только множители 2 и 5, десятичная запись будет конечной:

Если в знаменателе есть другие простые множители, может получиться бесконечная периодическая дробь:

Чтобы перевести конечную десятичную дробь в обыкновенную, её записывают без запятой в числителе, а в знаменателе ставят 10, 100, 1000 и так далее — в зависимости от количества знаков после запятой:

Для записи с целой частью:

Как решать задачи с дробями

Алгоритм решения примеров с дробями

Чтобы правильно решать примеры с дробями, удобно придерживаться последовательности:

1. Определить порядок действий.
2. Если есть смешанные числа, при необходимости перевести их в неправильные дроби.
3. Для сложения или вычитания привести дроби к общему знаменателю.
4. Для умножения проверить возможность предварительного сокращения.
5. При делении заменить его умножением на обратную дробь.
6. Выполнить вычисления.
7. Сократить результат и при необходимости выделить целую часть.

Например:

Сначала выполняется умножение:

Затем складываем:

Общий знаменатель — 12:

Итог:

Как выбрать действие и записать решение

Действие выбирают по смыслу условия или по знаку между значениями в примере:

• сложение показывает объединение величин;
• вычитание — нахождение разности или уменьшение величины;
• умножение — повторное сложение или нахождение части от числа;
• деление — распределение поровну или определение, сколько раз одна величина содержится в другой.

Например, если одна лента имеет длину $\frac{3}{4}$ м, а другая — $\frac{2}{5}$ м, общую длину находят сложением:

Если нужно найти $\frac{2}{3}$ от 18, используют умножение:

Запись решения должна показывать основные преобразования, а не только конечный ответ. Это позволяет проверить, на каком шаге возникла ошибка.

Проверка результата и типичные ошибки

Результат полезно проверять оценкой и обратным действием. Например, если из $\frac{7}{8}$ вычитают $\frac{1}{3}$, ответ должен быть меньше $\frac{7}{8}$, но больше нуля:

Дробь $\frac{13}{24}$ действительно находится между 0 и $\frac{7}{8}$.

Распространённые ошибки:

1. Складывают знаменатели при сложении дробей.

Неправильно:

Правильно:

2. При приведении к общему знаменателю меняют только нижнюю часть.

Если $\frac{2}{3}$ приводят к знаменателю 12, числитель также нужно умножить на 4:

а не $\frac{2}{12}$.

3. При делении не переворачивают вторую дробь.

Правильно:

4. Забывают сократить ответ.

Например:

поэтому результат лучше записать в сокращённом виде.

5. Неправильно располагают запятые в десятичных дробях.

При сложении и вычитании запятые должны находиться на одной вертикали, а при умножении нужно учитывать общее количество знаков после запятой.

Проверка с помощью приблизительной оценки помогает быстро обнаружить неверный результат: сумма положительных величин не может быть меньше каждого слагаемого, а произведение дроби меньше единицы на положительное число обычно не превышает исходного множителя.