Деление с остатком

Деление с остатком — это деление, при котором одно число нельзя разделить на другое нацело: после выделения целого числа равных групп остаётся часть делимого. В записи $23:5=4$ (ост. 3) число 23 — делимое, 5 — делитель, 4 — неполное частное, а 3 — остаток. Чтобы выполнить деление с остатком, нужно найти наибольшее неполное частное и определить оставшиеся единицы.

Что такое деление с остатком

При делении одно число пытаются разделить на равные части, размер которых задаёт делитель. Если удаётся выделить только целое число таких частей, а некоторое количество единиц остаётся, получают неполное частное и остаток. Результат деления с остатком показывает, сколько целых групп удалось выделить и сколько единиц осталось.

Например:

Это означает, что в числе 17 четыре раза помещается число 4:

а одна единица остаётся:

Если после деления ничего не осталось, говорят, что число делится нацело. Например:

Здесь остаток равен нулю.

Компоненты и формула деления с остатком

Делимое, делитель, частное и остаток

В выражении

числа выполняют следующие роли:

• делимое — число, которое делят, $29$;
• делитель — число, на которое делят, $6$;
• неполное частное — количество целых раз, которое 6 помещается в 29, $4$;
• остаток — часть делимого, которая не вошла в целые группы, $5$.

В школьных примерах результат обычно записывают так:

Знак «ост.» показывает, какое число осталось после выделения целых групп.

Формула деления с остатком

Связь между всеми компонентами выражает формула:

где:

• $a$ — делимое;
• $b$ — делитель;
• $q$ — неполное частное;
• $r$ — остаток.

Для примера $29:6=4$ (ост. 5) формула выглядит так:

Сначала находят произведение делителя и неполного частного:

Затем прибавляют остаток:

Если известны делимое, делитель и неполное частное, остаток можно найти вычитанием:

Например:

Значит,

Главное правило для остатка

Остаток всегда меньше делителя:

Это правило означает, что остаток не может быть равен делителю или быть больше него. Если такое произошло, значит, 6 можно было поместить ещё хотя бы один раз, а неполное частное выбрано неправильно.

Например, запись

неверна: число 8 больше 6. Нужно увеличить неполное частное на единицу:

Проверка:

Нулевой остаток допустим:

В таком случае обычно говорят просто: $24:6=4$.

Как выполнять деление с остатком

Определить, сколько раз делитель помещается в делимом

Сначала нужно подобрать наибольшее целое число, при умножении на которое 8 не превысит 43. Приступая к делению, важно сравнить ближайшие произведения делителя и предполагаемого частного.

Рассмотрим деление 43 на 8. Сравним произведения:

Число 48 больше 43, поэтому 6 раз взять нельзя. Подходит число 5: оно даёт произведение 40, не превышающее делимое.

Значит, неполное частное равно 5.

Вычислить остаток

Чтобы найти остаток, из делимого вычитают произведение делителя и найденного неполного частного:

Остаток от деления равен 3. Он меньше 8, поэтому результат возможен.

Записать результат

Теперь все части результата известны:

• делимое — 43;
• делитель — 8;
• неполное частное — 5;
• остаток — 3.

Запись имеет вид:

При письменных вычислениях пример можно записать в столбик, а затем проверить полученный ответ по формуле.

Общий порядок действий при делении можно представить так:

1. Найти наибольшее целое частное, при котором произведение делителя и частного не превышает делимое.
2. Умножить делитель на неполное частное.
3. Вычесть полученное произведение из делимого.
4. Проверить, что остаток меньше делителя.
5. Записать ответ.

Как проверить результат

Для проверки деления используют формулу:

Нужно умножить делитель на неполное частное и прибавить остаток. Полученное число должно совпасть с делимым. Такой способ проверки помогает убедиться в правильности выполненного деления.

Проверим равенство:

Подставим числа в формулу:

Левая часть совпала с делимым, значит, вычисление выполнено верно. Дополнительно проверим правило для остатка:

Оба условия соблюдены.

Если при проверке получается другое число, ошибка могла возникнуть в неполном частном, умножении или вычитании. Если же восстановленное делимое совпадает с исходным, но остаток не меньше делителя, результат всё равно выбран неверно: 7 можно было взять ещё один или несколько раз.

Деление с остатком на числовом луче

На числовом луче деление с остатком можно представить как последовательность одинаковых шагов. Длина каждого шага равна делителю, а число полных шагов показывает неполное частное. Расстояние от последней достигнутой точки до делимого является остатком.

Например, рассмотрим деление 19 на 4:

От нуля откладываем четыре одинаковых отрезка длиной 4:

Получилось 4 полных шага. До числа 19 осталось пройти ещё 3 единицы:

Поэтому 4 — неполное частное, а 3 — остаток.

Если число попадает точно в конец одного из полных шагов, остаток равен нулю. Например, при делении 20 на 4:

Получается 5 полных шагов и ни одной оставшейся единицы:

Примеры с остатком

Пример с однозначным делителем

Вычислим:

Решение. Найдём наибольшее произведение числа 6, которое не превышает 35:

Произведение $36$ больше делимого, поэтому берём частное 5. Остаток:

Ответ:

Проверка:

Остаток меньше делителя:

Пример с двузначным делителем

Вычислим:

Решение. Проверим, сколько раз число 23 помещается в 157:

Произведение $161$ превышает 157, поэтому неполное частное равно 6. Находим остаток:

Ответ:

Проверка:

Остаток подходит, поскольку:

Пример, в котором деление выполняется без остатка

Вычислим:

Число 12 помещается в 144 ровно 12 раз:

Разность между делимым и этим произведением равна нулю:

Ответ:

Нулевой остаток обычно не записывают, поэтому достаточно записи:

Типичные ошибки при делении с остатком

1. Остаток делают равным делителю или больше него.

Например, запись $31:5=5$ (ост. 6) неверна, потому что $6>5$. Правильный результат:

2. Забывают прибавить остаток при проверке.

Для результата $47:9=5$ (ост. 2) недостаточно проверить только произведение $9·5=45$. Нужно учитывать и оставшиеся 2 единицы:

3. Берут слишком большое частное.

Если при умножении делителя на неполное частное получается число больше делимого, неполное частное нужно уменьшить. Например, при делении 50 на 8 нельзя взять частное 7, потому что $8·7=56$. Подходит частное 6:

4. Путают делимое и делитель.

В записи $38:6$ число 38 делят на 6. Если поменять числа местами, получится уже другой пример с другим результатом.

5. Не проверяют вычисление.

После получения ответа полезно восстановить делимое по формуле:

Если результат не совпал с исходным делимым или остаток оказался не меньше делителя, деление нужно выполнить заново.