ФИПИ FA7623 — Показательные уравнения

Неизвестное стоит в показателе степени. Чтобы получить обычное линейное уравнение, выразим обе части степенями с одним и тем же основанием. Дробное основание заменяем отрицательной степенью: $$\frac1{4}=4^{-1}$$ При возведении степени в степень показатели перемножаются. Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $$(4^{-1})^{x-5}=4^{-( x-5 )}=4^{-x+5}$$ Сначала вычислим положительную степень основания: $$4^{2}=4\cdot4=16$$ Отрицательная степень означает обратную величину: $$4^{-2}=\frac1{4^{2}}=\frac1{16}=\frac{1}{16}$$ У степеней с положительным основанием, отличным от 1, равенство значений возможно только при одинаковых показателях. Поэтому приравниваем показатели: $$-x+5=-2$$ Теперь неизвестное входит в уравнение только в первой степени: $$-x+5=-2$$ Вычтем $5$ из обеих частей, чтобы оставить слагаемое с $x$ отдельно: $$-x=-2-5=-7$$ Разделим обе части на коэффициент $-1$ перед $x$: $$x=\frac{-7}{-1}=7$$ Проверим показатель левой части после подстановки найденного $x$: $$(-1)\cdot7+5=-7+5=-2$$ Показатель правой части тоже равен $-2$. Значит, после приведения к основанию $4$ обе части совпадают. Ответ: $7$.