В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABMN,$ где точки $M$ и $N$ $—$ точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB=BM=AN=5MN.$
а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1:4,$ считая от вершины $S.$
б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha .$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $SM:MC=SN:ND=1:4$; б) $\frac{\sqrt{21}}7$.
Решение
План. Сначала найдём отношение, в котором плоскость пересекает боковые рёбра. Затем проведём высоту трапеции сечения и её проекцию на основание: угол между этими двумя отрезками будет нужным углом между плоскостями.
а) Отношения на рёбрах. Плоскость сечения содержит $AB$, а $AB\parallel CD$. В грани $SCD$ её след $MN$ также параллелен $CD$. Иначе след пересёк бы прямую $CD$, а значит, плоскость сечения, содержащая параллельную ей прямую $AB$, совпала бы с плоскостью основания, что невозможно при $M,N$ на боковых рёбрах.
Следовательно, треугольники $SMN$ и $SCD$ подобны. По условию $AB=5MN$, причём $AB=CD$. Значит,
$$\frac{MN}{CD}=\frac{MN}{AB}=\frac15.$$
По подобию:
$$\frac{SM}{SC}=\frac{SN}{SD}=\frac15.$$
Оставшиеся части составляют долю $1-1/5=4/5$. Поэтому
$$SM:MC=SN:ND=\frac15:\frac45=1:4.$$
б) Высота сечения. Пусть $AB=a$, $E$ — середина $AB$, $F$ — середина $MN$. Трапеция $ABMN$ равнобедренная по симметрии правильной пирамиды; её основания $a$, $a/5$, боковые стороны $a$ по условию. Отрезок $EF$ — высота трапеции. Если из $N$ опустить перпендикуляр на $AB$, от основания $A$ до его основания получится половина разности оснований:
$$\frac{a-a/5}{2}=\frac{4a/5}{2}=\frac{2a}{5}.$$
По Пифагору в полученном прямоугольном треугольнике:
$$EF^2=a^2-\left(\frac{2a}{5}\right)^2=a^2-\frac{4a^2}{25}=\frac{21a^2}{25},$$
$$EF=\frac{a\sqrt{21}}5.$$
Проекция этой высоты. Пусть $G$ — середина $CD$, $O$ — центр квадрата, $F_0$ — проекция $F$ на основание. При подобии треугольников $SMN$ и $SCD$ середина $G$ переходит в $F$, поэтому
$$\frac{SF}{SG}=\frac15.$$
В треугольнике $SGO$ прямая через $F$, параллельная $SO$, пересекает $GO$ в $F_0$. Точка $F$ находится на одной пятой пути от $S$ к $G$, поэтому её горизонтальное смещение от $SO$ равно одной пятой $OG$:
$$OF_0=\frac15OG=\frac15\cdot\frac a2=\frac a{10}.$$
Точки $E,O,F_0,G$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Поэтому
$$EF_0=EO+OF_0=\frac a2+\frac a{10}=\frac{5a+a}{10}=\frac{3a}{5}.$$
Отрезки $EF$ и $EF_0$ перпендикулярны линии пересечения плоскостей $AB$, поэтому угол $FEF_0$ — искомый угол $\varphi$. В прямоугольном треугольнике $EFF_0$:
$$\cos\varphi=\frac{EF_0}{EF}=\frac{3a/5}{a\sqrt{21}/5}=\frac3{\sqrt{21}}.$$
Избавляемся от корня в знаменателе:
$$\frac3{\sqrt{21}}=\frac{3\sqrt{21}}{21}=\frac{\sqrt{21}}7.$$
Ответ: б) $\frac{\sqrt{21}}7$.