Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, причём $AB=2\sqrt{2}$, $BC=4$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.
а) Докажите, что $P$ $—$ середина отрезка $BQ$.
б) Найдите угол между гранями $SBA$ и $SBC$, если $SD=4$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\arccos\frac1{\sqrt{21}}$.
Решение
План. Положения оснований перпендикуляров найдём через скалярные проекции на $BS$. Затем вычислим нормали двух граней и угол между ними.
Обозначим $AB=p=2\sqrt2$, $BC=q=4$. Выберем прямоугольные координаты:
$$B(0;0;0),\quad A(p;0;0),\quad C(0;q;0),\quad D(p;q;0).$$
Основание высоты — центр прямоугольника, поэтому
$$S\left(\frac p2;\frac q2;h\right).$$
Пусть $BS=l$. Единичный вектор вдоль $BS$ равен
$$\mathbf e=\frac1l\left(\frac p2;\frac q2;h\right).$$
а) Проекции точек $A,C$ на $BS$. Длина направленной проекции вектора на прямую равна его скалярному произведению с единичным вектором этой прямой. Поэтому
$$BP=\overrightarrow{BA}\cdot\mathbf e=(p;0;0)\cdot\frac1l\left(\frac p2;\frac q2;h\right)=\frac{p^2}{2l},$$
$$BQ=\overrightarrow{BC}\cdot\mathbf e=(0;q;0)\cdot\frac1l\left(\frac p2;\frac q2;h\right)=\frac{q^2}{2l}.$$
Обе величины положительны, поэтому $P,Q$ лежат на одном луче $BS$. Вычислим квадраты сторон:
$$p^2=(2\sqrt2)^2=8,\qquad q^2=4^2=16=2p^2.$$
Значит,
$$BQ=\frac{2p^2}{2l}=2\frac{p^2}{2l}=2BP.$$
Следовательно, $P$ находится между $B,Q$, а $BP=PQ=BQ/2$: это середина $BQ$.
б) Высота и нормали. Все вершины прямоугольника равноудалены от его центра, поэтому при вершине над центром все боковые рёбра равны. Из $SD=4$ следует $SB=4$. По Пифагору:
$$h^2=SB^2-OB^2=16-\left(\frac{p^2}{4}+\frac{q^2}{4}\right)=16-\frac{8+16}{4}=16-6=10.$$
Грань $SBA$ содержит направление оси $x$. Поэтому её нормаль имеет первую координату 0. Для перпендикулярности вектору $BS=(p/2;q/2;h)$ можно взять
$$\mathbf n_1=\left(0;-h;\frac q2\right),$$
поскольку $0\cdot(p/2)-h(q/2)+(q/2)h=0$.
Грань $SBC$ содержит направление оси $y$. Её нормаль можно взять
$$\mathbf n_2=\left(h;0;-\frac p2\right),$$
поскольку $h(p/2)+0\cdot(q/2)-(p/2)h=0$.
Модуль их скалярного произведения:
$$|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|=\left|0\cdot h+(-h)\cdot0+\frac q2\left(-\frac p2\right)\right|=\frac{pq}{4}.$$
Длины нормалей:
$$|\mathbf n_1|=\sqrt{h^2+\frac{q^2}{4}}=\sqrt{10+\frac{16}{4}}=\sqrt{14},$$
$$|\mathbf n_2|=\sqrt{h^2+\frac{p^2}{4}}=\sqrt{10+\frac84}=\sqrt{12}.$$
Для угла между плоскостями используем модуль косинуса между нормалями:
$$\cos\varphi=\frac{pq/4}{\sqrt{14}\sqrt{12}}=\frac{(2\sqrt2)\cdot4/4}{\sqrt{168}}=\frac{2\sqrt2}{2\sqrt{42}}=\frac1{\sqrt{21}}.$$
Поэтому
$$\varphi=\arccos\frac1{\sqrt{21}}.$$
Ответ: б) $\arccos\frac1{\sqrt{21}}$.