В основании прямой призмы $ABCD{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2.$ Точка $M$ делит
ребро ${A}_{1}{D}_{1}$ в отношении ${A}_{1}M:M{D}_{1}=1:2,$ а точка $K$ $—$ середина ребра $D{D}_{1}.$
а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD.$
б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $∠MKC=90^{\circ},$ $∠ADC=60^{\circ}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{\sqrt{21}}3$.
Решение
План. Найдём уравнение секущей плоскости по точкам $M,K,C$. После этого можно проверять принадлежность точек, направления прямых и находить все вершины сечения простой подстановкой.
Введём координаты основания:
$$A(0;0;0),\quad D(3;0;0),\quad B\left(\frac12;b;0\right),\quad C\left(\frac52;b;0\right),\qquad b>0.$$
Почему смещение равно $1/2$? Основания равнобедренной трапеции равны 3 и 2, а короткое расположено симметрично относительно длинного. Поэтому с каждой стороны остаётся $(3-2)/2=1/2$. Число $b$ — высота трапеции, а высоту призмы обозначим через $h$.
Из $A_1M:MD_1=1:2$ получаем $A_1M=3/3=1$. Точка $K$ — середина $DD_1$, поэтому
$$M(1;0;h),\qquad K\left(3;0;\frac h2\right).$$
Плоскость не вертикальна, так как проекции $M,K,C$ не лежат на одной прямой. Запишем её как $z=\alpha x+\beta y+\gamma$. Подставляем $M,K$:
$$h=\alpha+\gamma,\qquad \frac h2=3\alpha+\gamma.$$
Вычитаем первое равенство из второго:
$$-\frac h2=2\alpha,\qquad \alpha=-\frac h4.$$
Тогда
$$\gamma=h-\alpha=h+\frac h4=\frac{5h}{4}.$$
Подстановка $C$ даёт
$$0=-\frac h4\cdot\frac52+\beta b+\frac{5h}{4},$$
$$0=-\frac{5h}{8}+\beta b+\frac{10h}{8},\qquad \beta b=-\frac{5h}{8},\qquad \beta=-\frac{5h}{8b}.$$
Итак,
$$z=\frac{5h}{4}-\frac h4x-\frac{5h}{8b}y.$$
Умножая на $8b$ и перенося в одну сторону, получаем также
$$2bhx+5hy+8bz-10bh=0.$$
а) Проверяем параллельность $BD$. Нормаль к плоскости — $\mathbf n=(2bh;5h;8b)$. Направление $BD$:
$$\overrightarrow{BD}=\left(3-\frac12;0-b;0\right)=\left(\frac52;-b;0\right).$$
Их скалярное произведение:
$$2bh\cdot\frac52+5h(-b)+8b\cdot0=5bh-5bh=0.$$
Значит, направление $BD$ параллельно плоскости. При этом $D$ в неё не входит: левая часть уравнения равна
$$2bh\cdot3-10bh=6bh-10bh=-4bh\ne0.$$
Поэтому сама прямая $BD$ параллельна плоскости $MKC$.
б) Находим $b$ и $h$. В прямоугольном треугольнике у вершины $D$ горизонтальный катет равен $1/2$, вертикальный — $b$. Из $\angle ADC=60^\circ$:
$$\tan60^\circ=\frac b{1/2}=2b,\qquad b=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Направления из $K$ к $M$ и $C$:
$$\overrightarrow{KM}=\left(-2;0;\frac h2\right),\qquad \overrightarrow{KC}=\left(-\frac12;b;-\frac h2\right).$$
Угол $MKC$ прямой, значит, скалярное произведение равно нулю:
$$(-2)\left(-\frac12\right)+0\cdot b+\frac h2\left(-\frac h2\right)=0,$$
$$1-\frac{h^2}{4}=0,\qquad h^2=4,\qquad h=2.$$
Берём положительный корень, поскольку это высота призмы.
Тангенс угла между плоскостями. Нормаль основания вертикальна. Поэтому угол между секущей плоскостью и основанием равен меньшему углу между $\mathbf n$ и вертикалью. У нормали горизонтальная составляющая имеет длину $\sqrt{(2bh)^2+(5h)^2}$, вертикальная — $8b$. По определению тангенса:
$$\tan\varphi=\frac{\sqrt{(2bh)^2+(5h)^2}}{8b}.$$
Подставляем $b=\sqrt3/2$, $h=2$:
$$2bh=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot2=2\sqrt3,\qquad 5h=10,\qquad 8b=4\sqrt3,$$
$$\tan\varphi=\frac{\sqrt{(2\sqrt3)^2+10^2}}{4\sqrt3}=\frac{\sqrt{12+100}}{4\sqrt3}=\frac{\sqrt{112}}{4\sqrt3}.$$
Поскольку $112=16\cdot7$, имеем $\sqrt{112}=4\sqrt7$. Поэтому
$$\tan\varphi=\frac{4\sqrt7}{4\sqrt3}=\frac{\sqrt7}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{21}}3.$$
Ответ: б) $\frac{\sqrt{21}}3$.