Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $B{D}_{1}$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ $—$ квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BC{C}_{1}$, если $A{A}_{1}=10$, $AB=12$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\arccos\frac5{\sqrt{194}}$.
Решение
а) У основания прямоугольного параллелепипеда уже есть прямые углы. Чтобы доказать, что оно квадрат, достаточно показать равенство двух соседних сторон. Обозначим их длины $AB=b$, $BC=c$, высоту — $AA_1=h$. Все три длины положительны.
Выберем координаты вдоль рёбер:
$$A=(0;0;0),\quad B=(b;0;0),\quad C=(b;c;0),\quad D=(0;c;0),\quad D_1=(0;c;h).$$
Плоскость сечения содержит прямую $BD_1$ и параллельна $AC$. Поэтому в ней есть два направления:
$$u=\overrightarrow{BD_1}=(-b;c;h),\qquad v=\overrightarrow{AC}=(b;c;0).$$
Найдём нормаль $n$ — вектор, перпендикулярный обоим направлениям. Возьмём первые две координаты $ch,-bh$: тогда произведение с $v$ равно $bch-bch=0$. Подберём третью координату $t$, чтобы произведение с $u$ тоже было нулевым:
$$(-b)ch+c(-bh)+ht=0,$$
$$-bch-bch+ht=0,$$
$$ht=2bch,$$
$$t=2bc.$$
Получаем:
$$n=(ch;-bh;2bc).$$
Плоскость проходит через $B=(b;0;0)$, поэтому её уравнение выражает перпендикулярность $BX$ и $n$:
$$ch(x-b)-bhy+2bcz=0,$$
$$chx-bhy+2bcz=bch.$$
Найдём пересечение с ребром $AA_1$: здесь $x=y=0$. Получаем:
$$2bcz=bch,\qquad z=h/2.$$
Обозначим эту точку через $M$:
$$M=(0;0;h/2).$$
На ребре $CC_1$ имеем $x=b,y=c$:
$$chb-bhc+2bcz=bch.$$
Первые два слагаемых сокращаются, и снова $z=h/2$. Значит, вторая точка:
$$N=(b;c;h/2).$$
Сечение состоит из отрезков $BM,MD_1,D_1N,NB$, каждый лежит на соответствующей боковой грани. Его диагонали — $BD_1$ и $MN$. Вектор второй диагонали:
$$\overrightarrow{MN}=(b;c;0).$$
По условию сечение — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:
$$(-b;c;h)\cdot(b;c;0)=0,$$
$$-b^2+c^2+0=0,$$
$$c^2=b^2.$$
Поскольку длины положительны, получаем $c=b$. Прямоугольник основания с равными соседними сторонами является квадратом.
б) Найдём угол секущей плоскости с гранью $BCC_1$.
При $c=b$ найденная нормаль равна $(bh;-bh;2b^2)$. Можно разделить её на положительное число $b$: направление перпендикуляра не меняется. Получим более простую нормаль:
$$n_1=(h;-h;2b).$$
У всех точек грани $BCC_1$ первая координата $x=b$. Значит, нормаль этой грани направлена вдоль оси $x$:
$$m=(1;0;0).$$
Угол между плоскостями находим как меньший угол между их нормалями. Его косинус равен модулю скалярного произведения, делённому на произведение длин:
$$\cos\varphi=\frac{|n_1\cdot m|}{|n_1|\,|m|}.$$
Числитель:
$$n_1\cdot m=h\cdot1+(-h)\cdot0+2b\cdot0=h.$$
Длина $m$ равна 1. Квадрат длины $n_1$:
$$|n_1|^2=h^2+(-h)^2+(2b)^2=h^2+h^2+4b^2=2h^2+4b^2.$$
Следовательно:
$$\cos\varphi=\frac{h}{\sqrt{2h^2+4b^2}}.$$
Подставим данные $h=10$, $b=12$:
$$\cos\varphi=\frac{10}{\sqrt{2\cdot10^2+4\cdot12^2}}.$$
Вычислим квадраты, произведения и сумму:
$$2\cdot10^2+4\cdot12^2=2\cdot100+4\cdot144=200+576=776.$$
Под корнем выделим полный квадрат 4:
$$\sqrt{776}=\sqrt{4\cdot194}=2\sqrt{194}.$$
Сократим числитель и коэффициент знаменателя на 2:
$$\cos\varphi=\frac{10}{2\sqrt{194}}=\frac{5}{\sqrt{194}}.$$
Арккосинус возвращает угол по его косинусу. Поэтому:
$$\varphi=\arccos\frac{5}{\sqrt{194}}.$$
Ответ: а) основание — квадрат; б) $\arccos\frac{5}{\sqrt{194}}$.