ФИПИ 9B8297 — Угол между плоскостями

План. Сначала перенесём условие об углах трапеции в треугольник $KAD$. Потом найдём основание и высоту небольшой пирамиды $KBCP$. а) Перпендикулярность плоскостей. Обозначим $\angle BAD=\alpha$, $\angle ADC=\beta$. Оба угла положительны, а их сумма равна $90^\circ$, поэтому каждый острый. Следовательно, боковые стороны трапеции направлены внутрь от большего основания $AD$ и их продолжения встречаются в точке $K$ со стороны меньшего основания $BC$. В треугольнике $KAD$ углы при $A$ и $D$ равны соответственно $\alpha$ и $\beta$. По сумме углов треугольника: $$\angle AKD=180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$ Значит, прямые $AB$ и $CD$, лежащие на $KA$ и $KD$, перпендикулярны. Обе плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны основанию. Каждая содержит вертикальную прямую через точку $K$ своего следа. Эта вертикаль у них общая; поскольку они также обе содержат $P$, их линия пересечения — $PK$, и она перпендикулярна основанию. Чтобы измерить угол между вертикальными плоскостями, можно пересечь их горизонтальной плоскостью основания: её следы $AB$ и $CD$ перпендикулярны общей вертикали $PK$. Угол между следами равен $90^\circ$, поэтому $$PAB\perp PCD.$$ б) Площадь $KBC$. Поскольку $BC\parallel AD$, треугольники $KBC$ и $KAD$ подобны. Обозначим их коэффициент подобия через $t$, где $0<t<1$. Тогда $$KB=t\,KA,\qquad KC=t\,KD.$$ Длины отрезков между параллельными основаниями: $$AB=KA-KB=(1-t)KA,$$ $$CD=KD-KC=(1-t)KD.$$ По условию $AB=CD=4$. Поскольку $1-t>0$, отсюда $KA=KD$, следовательно, и $KB=KC$. Треугольник $KBC$ прямоугольный при $K$ и равнобедренный. Пусть его катеты равны $x$. Гипотенуза $BC=4$, поэтому $$x^2+x^2=4^2,\qquad 2x^2=16,\qquad x^2=8.$$ Его площадь: $$S_{KBC}=\frac12 x\cdot x=\frac12x^2=\frac82=4.$$ Отрезок $PK$ — высота исходной пирамиды, поэтому $PK=9$. Он же является высотой пирамиды $KBCP$ к основанию $KBC$. Её объём: $$V_{KBCP}=\frac13S_{KBC}\cdot PK=\frac13\cdot4\cdot9=12.$$ Ответ: б) $12$.