ФИПИ 876DD3 — Угол между плоскостями

План. Плоскость задана двумя направлениями: $KN$ и $BC$. Найдём её уравнение, проверим параллельность $SA$, затем вычислим угол по нормалям. Нормаль — это вектор, перпендикулярный плоскости. Положим центр основания в начало координат, оси направим вдоль сторон квадрата и высоты: $$A(-b;-b;0),\ B(b;-b;0),\ C(b;b;0),\ D(-b;b;0),\ S(0;0;h),$$ где $b=AB/2$, $h=SO>0$. Квадрат расстояния от центра до вершины равен $b^2+b^2=2b^2$. Из прямоугольного треугольника $SOA$: $$h^2=SA^2-OA^2=SA^2-2b^2.$$ Числа подставим позднее: пункт а) удобно доказать сразу для любого заданного отношения $DN:NC=SK:KC=1:r$. а) Находим плоскость. Обозначим долю отрезка через $t=1/(r+1)$. Тогда $$N=D+t(C-D)=(-b+2bt;\ b;\ 0),$$ $$K=S+t(C-S)=(bt;\ bt;\ h(1-t)).$$ Таким образом, разности координат для направления $NK$ равны $$\overrightarrow{NK}=(b(1-t);\ -b(1-t);\ h(1-t)).$$ Это направление пропорционально $(b;-b;h)$. Второе направление, $BC$, параллельно оси $y$. Значит, уравнение плоскости не зависит от $y$. При изменении $x$ на $b$ вдоль $NK$ координата $z$ меняется на $h$, поэтому выражение $-hx+bz$ остаётся постоянным. Подстановка $N$ даёт $$-hx+bz=hb(1-2t).$$ Для направления $SA$ имеем $$\overrightarrow{SA}=(-b;-b;-h).$$ Проверяем, меняется ли левая часть уравнения при движении в этом направлении: $$(-h)(-b)+b(-h)=hb-bh=0.$$ Следовательно, направление $SA$ параллельно плоскости. Сама точка $S$ в плоскость не входит: её подстановка даёт $bh$, тогда как справа $bh(1-2t)$; эти числа различны, поскольку $t>0$. Поэтому вся прямая $SA$ параллельна $\alpha$. б) Угол между плоскостями. Нормаль к найденной плоскости имеет координаты $$\mathbf n=(-h;0;b).$$ Грань $SBC$ содержит направление оси $y$. Точки $B$, $C$, $S$ удовлетворяют уравнению $$hx+bz=bh.$$ Поэтому её нормаль $$\mathbf m=(h;0;b).$$ Косинус меньшего угла между плоскостями равен модулю косинуса между нормалями. Модуль нужен потому, что одна и та же плоскость имеет два противоположных направления нормали: $$\cos\varphi=\frac{|\mathbf n\cdot\mathbf m|}{|\mathbf n||\mathbf m|}=\frac{|-h^2+b^2|}{\sqrt{h^2+b^2}\sqrt{h^2+b^2}}=\frac{|b^2-h^2|}{h^2+b^2}.$$ Подставляем данные: $$b=\frac{4}{2}=2,\qquad b^2=4,$$ $$h^2=7^2-2\cdot4=49-8=41.$$ Теперь числитель и знаменатель: $$|b^2-h^2|=|4-41|=37,$$ $$h^2+b^2=41+4=45.$$ Поэтому $$\cos\varphi=\frac{37}{45}=\frac{37}{45},\qquad \varphi=\arccos\left(\frac{37}{45}\right).$$ Ответ: б) $\arccos\left(\frac{37}{45}\right)$.