Помещение освещается фонарём с четырьмя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Ответ: $0{,}9744$.
Решение
«Хотя бы одна не перегорит» означает, что останется целой одна, две или больше ламп. Вместо перечисления этих случаев удобнее найти вероятность противоположного события: перегорят все лампы.
Ламп $4$, вероятность перегорания каждой равна $0{,}4$. По условию они перегорают независимо, поэтому вероятности совместного перегорания умножаем:
$$P_{\text{все перегорят}}=0{,}4\cdot0{,}4\cdot0{,}4\cdot0{,}4$$
$$0{,}4\cdot0{,}4=0{,}16$$
$$0{,}16\cdot0{,}4=0{,}064$$
$$0{,}064\cdot0{,}4=0{,}0256$$
Событие и его противоположность вместе охватывают все исходы и не пересекаются. Их вероятности в сумме равны 1, значит:
$$P=1-0{,}0256=0{,}9744$$
Ответ: $0{,}9744$.