ФИПИ 0e3ce7 — Треугольники и окружности

Нужно доказать угол $OAC=45^\circ$ и найти боковую сторону. Центр окружности расположен в прямоугольном треугольнике $BHC$: именно его стороны $BH$, $BC$, $CH$ касаются окружности. Используем формулу радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника и координаты вдоль $AB$. Шаг 1. Введём обозначения и определим радиус. Пусть $AB=BC=l$, угол при основании $A$ равен $\alpha$. Угол $C$ равен ему, а $B=180^\circ-2\alpha$. Остроугольность даёт $45^\circ<\alpha<90^\circ$. Положим $A=(0;0)$, $B=(l;0)$, $C=(u;v)$, где $u,v>0$, тогда $H=(u;0)$, $BH=l-u$, $CH=v$. Для прямоугольного треугольника с катетами $m,n$ и гипотенузой $l$ радиус вписанной окружности равен $(m+n-l)/2$. Это можно получить из равных касательных: катеты состоят из радиуса у прямого угла и двух частей гипотенузы; их сумма минус гипотенуза равна двум радиусам. Здесь $$r=\frac{(l-u)+v-l}{2}=\frac{v-u}{2}.$$ Центр отстоит на $r$ от горизонтального $BH$ и вертикального $CH$, поэтому $$O=(u+r;r)=\left(\frac{u+v}{2};\frac{v-u}{2}\right).$$ Шаг 2. Вычислим направление $AO$. Поскольку $C$ лежит на луче, образующем с $AB$ угол $\alpha$, имеем $u=AC\cos\alpha$, $v=AC\sin\alpha$. Следовательно, $$\tan\angle BAO=\frac{y_O}{x_O}=\frac{v-u}{v+u}=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}.$$ Формула тангенса разности даёт $$\tan(\alpha-45^\circ)=\frac{\tan\alpha-1}{1+\tan\alpha}=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}.$$ Мы получили один и тот же тангенс. Оба угла находятся между0 и $45^\circ$, поэтому равны: $\angle BAO=\alpha-45^\circ$. Луч $AO$ находится между $AB$ и $AC$, значит, $$\angle OAC=\angle BAC-\angle BAO=\alpha-(\alpha-45^\circ)=45^\circ.$$ Пункт а доказан. Шаг 3. Используем длину $BO$. Центр вписанной окружности $BHC$ лежит на биссектрисе при $B$, поэтому $\angle ABO=B/2=90^\circ-\alpha$. В треугольнике $ABO$: $$\angle AOB=180^\circ-(\alpha-45^\circ)-(90^\circ-\alpha)=135^\circ.$$ По теореме синусов сторона $AB=l$ лежит напротив $135^\circ$, а $BO=1$ — напротив $\alpha-45^\circ$: $$\frac l{\sin135^\circ}=\frac1{\sin(\alpha-45^\circ)}.$$ Умножаем на оба синуса: $$l\sin(\alpha-45^\circ)=\sin135^\circ=\sqrt2/2.$$ Раскрываем синус разности: $$l(\sin\alpha\cos45^\circ-\cos\alpha\sin45^\circ)=\sqrt2/2.$$ Оба табличных значения равны $\sqrt2/2$. Делим на этот положительный множитель: $$l\sin\alpha-l\cos\alpha=1.$$ Шаг 4. Найдём $l$ по основанию $AC=6$. Высота из вершины $B$ равнобедренного треугольника делит основание пополам. Поэтому в половине треугольника прилежащий к $\alpha$ катет равен $AC/2=3$, то есть $l\cos\alpha=3$. Из предыдущего равенства $l\sin\alpha=1+3=4$. Это два катета прямоугольного треугольника с гипотенузой $l$. Следовательно, $$l^2=(l\cos\alpha)^2+(l\sin\alpha)^2=3^2+4^2=9+16=25,\qquad l=5.$$ Проверка: $l\sin\alpha-l\cos\alpha=4-3=1=BO$. Кроме того, $\tan\alpha=4/3>1$, то есть $\alpha>45^\circ$, как и требовалось. Ответ: а) $45^\circ$; б) $BC=5$.