ФИПИ 16DDDD — Треугольники и окружности

Нужно использовать равенство углов $A=2B$. Сначала найдём углы у второй окружности, а затем выразим соотношение сторон через теоремы синусов и косинусов. Шаг 1. Установим углы и подобие. Пусть $\angle ABC=\beta$. Тогда $\angle BAC=2\beta$, $\angle ACB=180^\circ-3\beta$. Треугольник остроугольный, поэтому центр его описанной окружности $O$ находится внутри. Центральный угол $AOC$ опирается на ту же малую дугу $AC$, что вписанный угол $ABC$. Поэтому $\angle AOC=2\beta$. Точка $P$ находится на отрезке $BC$, значит, $P$ и $O$ расположены с одной стороны от прямой $AC$. Четыре точки $A,O,C,P$ лежат на второй окружности. Вписанные углы $APC$ и $AOC$, опирающиеся на одну хорду $AC$ и расположенные с одной стороны от неё, равны. Следовательно, $$\angle APC=\angle AOC=2\beta=\angle BAC.$$ Так как луч $CP$ совпадает с $CB$, равны и углы $PCA$ и $BCA$. По двум углам $\triangle PAC\sim\triangle ABC$ с соответствием $P\leftrightarrow A$, $A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow C$. Также в треугольнике $APC$: $$\angle PAC=180^\circ-2\beta-(180^\circ-3\beta)=\beta.$$ Из всего угла $BAC=2\beta$ вычитаем $PAC=\beta$: $\angle BAP=\beta$. Угол $ABP$ тоже равен $\beta$, поскольку $P$ на $BC$. В треугольнике $ABP$ два угла равны, поэтому противоположные стороны равны: $AP=BP$. Таким образом, доказаны обе формулировки пункта а. Шаг 2. Выведем соотношение сторон без пропущенных преобразований. Обозначим $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Теорема синусов для $ABC$ даёт $$\frac ab=\frac{\sin2\beta}{\sin\beta}.$$ Угол $\beta$ острый, поэтому $\sin\beta\ne0$. По формуле двойного угла $\sin2\beta=2\sin\beta\cos\beta$, значит, $$\frac ab=2\cos\beta.$$ По теореме косинусов для стороны $b$, противоположной углу $B=\beta$: $$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta.$$ Переносим и делим на $ac>0$: $$2\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{ac}.$$ Приравниваем выражения и умножаем на $abc$: $$\frac ab=\frac{a^2+c^2-b^2}{ac},\qquad a^2c=b(a^2+c^2-b^2).$$ Раскрываем правую скобку и переносим $ba^2$ влево: $$a^2c=ba^2+bc^2-b^3,\qquad a^2(c-b)=b(c^2-b^2).$$ Разность квадратов $c^2-b^2=(c-b)(c+b)$, поэтому $$a^2(c-b)=b(c-b)(c+b).$$ Проверим, можно ли сократить $c-b$. При $c=b$ углы напротив них $C$ и $B$ были бы равны. Вместе с $A=2B$ сумма углов стала бы $2B+B+B=180^\circ$, откуда $B=45^\circ$, $A=90^\circ$. Это противоречит остроугольности. Следовательно, $c-b\ne0$, и сокращение допустимо: $$a^2=b(b+c).$$ Шаг 3. Найдём неизвестную сторону $AB$. Здесь $a=\sqrt{10}$, $b=2$. Подставляем: $$10=2(2+c),\qquad 10=4+2c,\qquad 2c=6,\qquad c=3.$$ Проверка: $a^2=10=2(2+3)$. При этих сторонах $\cos\beta=a/(2b)=\sqrt{10}/4$, $\cos2\beta=2\cdot10/16-1=1/4>0$. Полученные углы соответствуют остроугольному треугольнику. Ответ: а) $\triangle PAC\sim\triangle ABC$; б) $AB=3$.