В треугольнике $ABC$ точки ${A}_{1}$, ${B}_{1}$ и ${C}_{1}$ $—$ середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ $—$ высота, $∠BAC=60^{\circ}$, $∠BCA=45^{\circ}$.
а) Докажите, что точки ${A}_{1}$, ${B}_{1}$, ${C}_{1}$ и $H$ лежат на одной окружности.
б) Найдите ${A}_{1}H$, если $BC=2\sqrt{3}$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $1$.
Решение
Нужно доказать, что четыре заданные точки принадлежат одной окружности, и найти расстояние от середины $BC$ до основания высоты. Основание высоты может находиться на продолжении $BC$, поэтому будем считать координаты со знаком, а длину в конце возьмём по модулю.
Шаг 1. Проверим существование общей окружности по её уравнению.
Выберем горизонтальной осью прямую $BC$, начало — в $H$. Тогда $H=(0;0)$, $A=(0;h)$, где $h=AH>0$, $B=(u;0)$, $C=(v;0)$. Числа $u,v$ могут быть отрицательными. Координаты середины отрезка — полусуммы координат его концов, поэтому
$$A_1=\left(\frac{u+v}2;0\right),\quad B_1=\left(\frac v2;\frac h2\right),\quad C_1=\left(\frac u2;\frac h2\right).$$
Окружность, проходящая через начало координат, имеет уравнение $x^2+y^2+Dx+Ey=0$. Почему это окружность: дополняя до квадратов, получаем $(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2)/4$.
Возьмём конкретные коэффициенты
$$D=-\frac{u+v}2,\qquad E=\frac{uv-h^2}{2h}.$$
Проверим подстановкой каждую точку. Для $H$ все слагаемые равны нулю. Для $A_1$:
$$\left(\frac{u+v}2\right)^2-\frac{u+v}2\cdot\frac{u+v}2=0.$$
Для $B_1$ левая часть, умноженная на 4, равна
$$v^2+h^2-(u+v)v+uv-h^2=v^2+h^2-uv-v^2+uv-h^2=0.$$
Для $C_1$ аналогично, но выпишем и эту проверку:
$$u^2+h^2-(u+v)u+uv-h^2=u^2+h^2-u^2-uv+uv-h^2=0.$$
Все четыре точки удовлетворяют одному уравнению окружности. Середины сторон невырожденного треугольника не лежат на одной прямой, поэтому окружность не вырождена в точку. Пункт а доказан.
Шаг 2. Выразим искомое расстояние через стороны большого треугольника.
Обозначим $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Теперь для удобства отсчитываем горизонтальную координату от $B$: $B=(0;0)$, $C=(a;0)$, $A=(x;y)$, а основание высоты $H=(x;0)$. По теореме Пифагора:
$$x^2+y^2=c^2,\qquad (a-x)^2+y^2=b^2.$$
Раскрываем второй квадрат и вычитаем первое равенство из второго:
$$a^2-2ax+x^2+y^2-x^2-y^2=b^2-c^2,$$
$$a^2-2ax=b^2-c^2,\qquad 2ax=a^2+c^2-b^2,$$
$$x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}.$$
Середина $A_1$ имеет координату $a/2$. Расстояние между двумя точками горизонтальной прямой — модуль разности координат:
$$A_1H=\left|x-\frac a2\right|=\left|\frac{a^2+c^2-b^2-a^2}{2a}\right|=\frac{|c^2-b^2|}{2a}.$$
Шаг 3. Вычислим стороны через известные углы.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$$B=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ.$$
По теореме синусов $a/\sin A=b/\sin B=c/\sin C$. Умножаем соответствующие равенства на синусы:
$$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$
Возводим в квадрат и подставляем в формулу расстояния:
$$A_1H=\frac{a^2|\sin^2 C-\sin^2 B|}{2a\sin^2 A}=\frac{a|\sin^2 C-\sin^2 B|}{2\sin^2 A}.$$
Для угла $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ используем синус суммы: $$\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$ Возводим в квадрат: $$\sin^275^\circ=\frac{6+2\sqrt{12}+2}{16}=\frac{8+4\sqrt3}{16}=\frac{2+\sqrt3}{4}.$$
Кроме того, $\sin45^\circ=\sqrt2/2$, поэтому $\sin^245^\circ=2/4=1/2$. Для нашего угла $A$ имеем $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, значит, $\sin^2 60^\circ=\frac{3}{4}$.
Подставляем оба квадрата синусов:
$$|\sin^2 45^\circ-\sin^2 75^\circ|=\left|\left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{4}.$$
Теперь подставляем длину $a=2 \sqrt{3}$:
$$A_1H=\frac{\left(2 \sqrt{3}\right)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}{2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=1.$$
Проверка отдельными длинами: $b=\sqrt{2} + \sqrt{6}$, $c=2 \sqrt{2}$, поэтому $|c^2-b^2|=4 \sqrt{3}$. Деление на $2a=4 \sqrt{3}$ снова даёт $1$.
Ответ: а) точки лежат на одной окружности; б) $A_1H=1$.