В треугольнике $ABC$ продолжения высоты $C{C}_{1}$ и биссектрисы $B{B}_{1}$ пересекают описанную окружность в точках $N$ и $M$ соответственно, $∠ ABC=40^{\circ},$ $∠ ACB=85^{\circ}.$
а) Докажите, что $BM=CN.$
б) Прямые $BC$ и $MN$ пересекаются в точке $D.$ Найдите площадь треугольника $BDN,$ если его высота $BH$ равна 6.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $36$.
Решение
Нужно доказать равенство двух хорд, затем вычислить площадь $BDN$ по заданной высоте. Для хорд найдём стягиваемые ими дуги. По этим же дугам определим углы треугольника $BDN$.
Шаг 1. Вычислим исходные углы и дуги.
Третий угол треугольника:
$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-40^\circ-85^\circ=55^\circ.$$
Биссектриса $BM$ делит угол при $B$ пополам: $\angle ABM=\angle MBC=40^\circ/2=20^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Поэтому дуги $AM$ и $MC$, не содержащие $B$, равны по $2\cdot20^\circ=40^\circ$.
Дуга $BC$, не содержащая $A$, стягивается углом $BAC=55^\circ$, значит, её величина $2\cdot55^\circ=110^\circ$.
Высота $CN$ перпендикулярна $AB$. В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ угол при $A$ равен $55^\circ$, поэтому
$$\angle ACN=90^\circ-55^\circ=35^\circ.$$
Точка $N$ — второе пересечение луча высоты с окружностью. Дуга $AN$, не содержащая $C$, имеет величину $2\cdot35^\circ=70^\circ$.
В результате точки на окружности идут в порядке $B,C,M,A,N$; это также видно по тому, что $M$ находится на дуге $AC$, а $N$ — на дуге $AB$ по другую сторону от $C$.
Шаг 2. Сравним дуги, стягиваемые $BM$ и $CN$.
Дуга $BCM$ равна $110^\circ+40^\circ=150^\circ$. Дуга $CMAN$ равна $40^\circ+40^\circ+70^\circ=150^\circ$. Равные дуги одной окружности стягиваются равными хордами, следовательно, $BM=CN$. Пункт а доказан.
Шаг 3. Найдём углы треугольника $BDN$.
Угол $CBN$ стягивает дугу $CMAN=150^\circ$, поэтому равен $150^\circ/2=75^\circ$. Угол $BNM$ стягивает дугу $BCM=150^\circ$, поэтому тоже равен $75^\circ$.
Объясним, какие лучи используются после пересечения прямых. В треугольнике $BCN$:
$$\angle BCN=85^\circ-35^\circ=50^\circ,$$
$$\angle BNC=180^\circ-75^\circ-50^\circ=55^\circ.$$
Угол $CNM$ стягивает дугу $CM=40^\circ$, значит, равен $20^\circ$. Луч $NM$ отклонён от $NB$ в сторону $NC$ ещё дальше: $55^\circ+20^\circ=75^\circ$. Поэтому он пересекает прямую $BC$ за $C$, а не внутри отрезка $BC$; точка $D$ находится за $M$ на луче $NM$. Например, в образующемся треугольнике $CND$ угол при $C$ равен $180^\circ-50^\circ=130^\circ$, при $N$ — $20^\circ$, при $D$ — $30^\circ$; все углы положительны и соответствуют этому расположению.
Следовательно, луч $BD$ совпадает с $BC$, а $ND$ — с $NM$. Поэтому
$$\angle DBN=75^\circ,\qquad\angle BND=75^\circ,$$
$$\angle BDN=180^\circ-75^\circ-75^\circ=30^\circ.$$
Равные углы при $B$ и $N$ лежат напротив равных сторон, значит, $BD=DN$.
Шаг 4. Найдём сторону по высоте $BH$.
Здесь $BH$ — высота треугольника $BDN$ к прямой $DN$. В прямоугольном треугольнике $BDH$ угол при $D$ равен $30^\circ$. По определению синуса:
$$\sin30^\circ=\frac{BH}{BD}=\frac12.$$
Так как $BH=6$, имеем $6/BD=1/2$. Умножаем на $2BD$: $12=BD$. Значит, $DN=BD=12$.
Шаг 5. Вычислим площадь по основанию $DN$ и высоте $BH$.
$$S_{BDN}=\frac12 DN\cdot BH=\frac12\cdot12\cdot6=72/2=36.$$
Проверка: высота $BD\sin30^\circ=12\cdot1/2=6$, как задано; равенство двух углов $75^\circ$ согласуется с найденными равными сторонами $BD=DN$.
Ответ: а) $BM=CN$; б) $S_{BDN}=36$.