В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3.$ Окружность, вписанная
в треугольник $ABC,$ касается отрезка $MN$ в точке $L.$
а) Докажите, что $AB+BC=4AC.$
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC,$ если $ML=\frac{9}{5},$ $LN=3.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $3$.
Решение
Нужно связать сумму боковых сторон с основанием, а затем найти радиус. Отношения точек дают параллельное сечение, а касание — расстояние между этим сечением и основанием.
Шаг 1. Найдём положение $MN$.
Из $AM:MB=2:3$ следует $BM/BA=3/5$. Аналогично $BN/BC=3/5$. По обратной теореме Фалеса $MN\parallel AC$, а треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны с коэффициентом $3/5$. Поэтому $MN=3AC/5$.
Пусть высота из $B$ к $AC$ равна $h$. Высота малого треугольника $BMN$ равна $3h/5$, поэтому расстояние между $MN$ и $AC$ равно $h-3h/5=2h/5$.
Обе параллельные прямые касаются вписанной окружности. Центр находится между ними, и расстояние равно диаметру $2r$. Отсюда
$$2r=2h/5,\qquad r=h/5.$$
Шаг 2. Выведем равенство сторон.
Площадь по основанию $AC$ равна $S=AC\cdot h/2$, а через радиус — $S=rp$, где $p=(AB+BC+AC)/2$ — полупериметр. Подставляем $r=h/5$:
$$\frac{AC\cdot h}{2}=\frac h5\cdot\frac{AB+BC+AC}{2}.$$
Умножаем на 10 и делим на $h>0$:
$$5AC=AB+BC+AC.$$
Вычитаем $AC$: $AB+BC=4AC$. Пункт а доказан.
Шаг 3. Найдём основание и полупериметр из частей $MN$.
Точка $L$ — точка касания внутри $MN$, поэтому
$$MN=ML+LN=9/5+3=9/5+15/5=24/5.$$
Из $MN=3AC/5$ получаем
$$AC=MN\cdot5/3=\frac{24}{5}\cdot\frac53=24/3=8.$$
Тогда $AB+BC=4\cdot8=32$, а $p=(32+8)/2=40/2=20$.
Шаг 4. Найдём боковые стороны через равные касательные.
Пусть окружность касается $BA$ и $BC$ в точках $T$ и $U$. Касательные из одной точки равны, поэтому $BT=BU$. Обозначим эту длину через $x$. Аналогично длины касательных из $A$ равны $y$, из $C$ — $z$. Тогда
$$AB=x+y,\quad BC=x+z,\quad AC=y+z.$$
Складывая стороны, видим $p=x+y+z$, поэтому $x=p-AC=20-8=12$.
Окружность находится в полосе между $MN$ и $AC$, поэтому точки касания $T,U$ лежат на частях сторон ниже $M,N$, то есть дальше от $B$. Из равенства касательных из $M$ имеем $MT=ML=9/5$. Следовательно,
$$BM=BT-MT=12-9/5=60/5-9/5=51/5.$$
Из равенства касательных из $N$ получаем $NU=NL=3$, поэтому $BN=BU-NU=12-3=9$.
Вспоминаем доли сторон: $BM=3AB/5$, $BN=3BC/5$. Значит,
$$AB=(51/5)\cdot5/3=51/3=17,$$
$$BC=9\cdot5/3=15.$$
Шаг 5. Вычислим площадь и радиус.
По формуле Герона $S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$. Подставляем:
$$S=\sqrt{20(20-17)(20-15)(20-8)}=\sqrt{20\cdot3\cdot5\cdot12}.$$
Умножаем: $20\cdot3=60$, $5\cdot12=60$, поэтому $S=\sqrt{60\cdot60}=60$. Из $S=rp$:
$$r=S/p=60/20=3.$$
Проверка: $h=2S/AC=120/8=15$, и расстояние между $MN$ и $AC$ равно $2h/5=6=2r$. Значит, найденный радиус согласуется с касанием.
Ответ: а) $AB+BC=4AC$; б) $r=3$.