ФИПИ 9c96c5 — Треугольники и окружности

Нужно доказать, что $CH$ параллельна $EK$, и найти отношение их длин. Точки касания на катетах образуют с центром окружности квадрат со стороной $r$. Выберем координаты вдоль катетов и сначала докажем свойство для любого радиуса. Шаг 1. Запишем окружность и направление $MK$. Пусть $C=(0;0)$, $M=(r;0)$, $E=(0;r)$, $O=(r;r)$, где $r>0$ — радиус вписанной окружности. Такие координаты следуют из перпендикулярности радиусов катетам и равенства $CM=CE=r$. Окружность имеет уравнение $(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$. Прямая из $M$ к точке $K$ имеет ненулевую вертикальную составляющую: $K$ находится на гипотенузе выше оси $x$. Поэтому её направление можно записать как $(t;1)$, а точку на ней — как $$x=r+\lambda t,\qquad y=\lambda.$$ Параметр $\lambda$ — вертикальная координата точки. Подставляем в окружность: $$\lambda^2t^2+(\lambda-r)^2=r^2,$$ $$\lambda^2t^2+\lambda^2-2r\lambda+r^2=r^2,$$ $$\lambda[\lambda(1+t^2)-2r]=0.$$ Корень $\lambda=0$ соответствует $M$. Для второго пересечения $K$ имеем $\lambda=2r/(1+t^2)$, значит, $$K=\left(r+\frac{2rt}{1+t^2};\frac{2r}{1+t^2}\right).$$ Шаг 2. Найдём основание перпендикуляра $H$. Поскольку $H$ лежит на $MK$, запишем $H=M+u(t;1)$. Условие $EH\perp MK$ означает нулевое скалярное произведение вектора $H-E=(r+ut;u-r)$ с $(t;1)$: $$t(r+ut)+(u-r)=0.$$ Раскрываем и собираем слагаемые при $u$: $$rt+ut^2+u-r=0,\qquad u(1+t^2)=r(1-t),\qquad u=\frac{r(1-t)}{1+t^2}.$$ Поэтому $$x_H=r+\frac{rt(1-t)}{1+t^2}=\frac{r(1+t^2+t-t^2)}{1+t^2}=\frac{r(1+t)}{1+t^2},$$ $$y_H=\frac{r(1-t)}{1+t^2}.$$ Шаг 3. Сравним направления $CH$ и $EK$. Поскольку $C$ — начало координат, $\overrightarrow{CH}=(x_H;y_H)$. А $$x_K-x_E=r+\frac{2rt}{1+t^2}=\frac{r(1+2t+t^2)}{1+t^2}=\frac{r(1+t)^2}{1+t^2},$$ $$y_K-y_E=\frac{2r}{1+t^2}-r=\frac{r(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{r(1-t)(1+t)}{1+t^2}.$$ Сравнивая эти координаты с $H$, видим $$\overrightarrow{EK}=(1+t)\overrightarrow{CH}.$$ Векторы пропорциональны, следовательно, прямые параллельны. Для данной вписанной окружности $t>0$: точка касания гипотенузы находится правее центра $O$, поэтому $x_K>r$. Значит, $1+t>0$, и отношение длин $CH:EK=1:(1+t)$. Пункт а доказан. Шаг 4. Найдём $K$ при катетах12 и5. Теперь $A=(12;0)$, $B=(0;5)$. Гипотенуза по Пифагору: $$AB=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$ Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен половине суммы катетов минус гипотенуза: $$r=(12+5-13)/2=4/2=2.$$ Прямая гипотенузы: $x/12+y/5=1$, то есть $5x+12y=60$. Центр $O=(2;2)$, а перпендикуляр к этой прямой направлен по $(5;12)$. Значит, точка касания $K=O+v(5;12)=(2+5v;2+12v)$. Подставляем в уравнение гипотенузы: $$5(2+5v)+12(2+12v)=60,$$ $$10+25v+24+144v=60,\qquad169v=26,\qquad v=2/13.$$ Отсюда $K=(2+10/13;2+24/13)=(36/13;50/13)$. Шаг 5. Найдём параметр направления и отношение длин. По определению $t=(x_K-r)/y_K$. Подставляем: $$t=\frac{36/13-2}{50/13}=\frac{10/13}{50/13}=1/5.$$ По доказанной формуле $EK=(1+t)CH=(6/5)CH$, поэтому $CH:EK=5:6$. Проверка: $5x_K+12y_K=(180+600)/13=780/13=60$, а $OK^2=(10/13)^2+(24/13)^2=(100+576)/169=4=r^2$. Ответ: а) $CH\parallel EK$; б) $CH:EK=5:6$.