ФИПИ D6A053 — Треугольники и окружности

Нужно доказать перпендикулярность $AO$ и $CO$, затем вычислить площадь. Удобно выразить положение центра через половину угла при вершине равнобедренного треугольника. Шаг 1. Найдём расстояние $BO$ через боковую сторону. Пусть $AB=BC=l$, $\angle ABC=2\theta$. Остроугольность даёт $0<\theta<45^\circ$. Выберем $B=(0;0)$, $A=(l;0)$, $C=(l\cos2\theta;l\sin2\theta)$. Высота $CH$ вертикальна: $x=l\cos2\theta$. Окружность вписана в прямоугольный треугольник $BHC$. Поэтому её центр лежит на биссектрисе угла при $B$. Если $t=BO$, то $$O=(t\cos\theta;t\sin\theta).$$ Расстояние от $O$ до горизонтальной $AB$ равно $t\sin\theta$. Расстояние до вертикальной $CH$, находящейся правее центра, равно $l\cos2\theta-t\cos\theta$. Это один и тот же радиус: $$t\sin\theta=l\cos2\theta-t\cos\theta.$$ Переносим слагаемое и выносим $t$: $$t(\sin\theta+\cos\theta)=l\cos2\theta.$$ Используем $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=(\cos\theta-\sin\theta)(\cos\theta+\sin\theta)$. Делим на положительное $\cos\theta+\sin\theta$: $$t=l(\cos\theta-\sin\theta).$$ Шаг 2. Докажем прямой угол через скалярное произведение. Векторы из $O$: $$\overrightarrow{OA}=(l-t\cos\theta;-t\sin\theta),$$ $$\overrightarrow{OC}=(l\cos2\theta-t\cos\theta;l\sin2\theta-t\sin\theta).$$ Перемножаем соответствующие координаты и складываем: $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=l^2\cos2\theta-lt\cos\theta-lt(\cos\theta\cos2\theta+\sin\theta\sin2\theta)+t^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta).$$ По формуле косинуса разности скобка равна $\cos(2\theta-\theta)=\cos\theta$, а сумма квадратов равна1. Поэтому выражение упрощается до $$l^2\cos2\theta-2lt\cos\theta+t^2.$$ Подставляем $t=l(\cos\theta-\sin\theta)$ и выносим $l^2$. Для краткости обозначим $c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$: $$l^2[(c^2-s^2)-2(c-s)c+(c-s)^2].$$ Раскрываем скобки: $$l^2[c^2-s^2-2c^2+2cs+c^2-2cs+s^2]=0.$$ Все слагаемые сократились. Нулевое скалярное произведение означает $OA\perp OC$, то есть $\angle AOC=90^\circ$. Пункт а доказан. Шаг 3. Найдём высоту и площадь большого треугольника. Пусть $T$ — середина основания $AC$. В равнобедренном треугольнике $BT$ одновременно высота и биссектриса. В прямоугольном треугольнике $BTA$: $$AT=l\sin\theta=AC/2=16/2=8,$$ $$BT=l\cos\theta.$$ По найденной формуле $BO=l\cos\theta-l\sin\theta=7$. Подставляем $l\sin\theta=8$: $$l\cos\theta-8=7,\qquad BT=l\cos\theta=15.$$ Теперь $$S_{ABC}=\frac{AC\cdot BT}{2}=\frac{16\cdot15}{2}=240/2=120.$$ Проверка: $l=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=17$, и формула $BO=15-8=7$ выполнена. Ответ: а) $\angle AOC=90^\circ$; б) площадь равна120.