Высоты $B{B}_{1}$ и $C{C}_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H.$
а) Докажите, что $∠B{B}_{1}{C}_{1}=∠BAH.$
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника $ABC,$ до стороны $BC,$ если ${B}_{1}{C}_{1}=18$ и $∠BAC=30^{\circ}.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) 18
Решение
План. Для равенства углов найдём окружность, проходящую через основания высот и ортоцентр. Для числовой части сначала восстановим $BC$ по расстоянию между основаниями высот, затем радиус описанной окружности и расстояние от её центра до хорды $BC$.
а) Вписанные углы. Точка $B_1$ лежит на $AC$, а $B_1H$ — на высоте из $B$. Поэтому
$$\angle AB_1H=90^\circ.$$
Аналогично $C_1\in AB$ и $C_1H$ лежит на высоте из $C$, поэтому
$$\angle AC_1H=90^\circ.$$
Точки, из которых отрезок $AH$ виден под прямым углом, лежат на окружности с диаметром $AH$. Значит, $A,B_1,H,C_1$ находятся на одной окружности.
В остроугольном треугольнике $H$ лежит между $B$ и $B_1$. Поэтому из точки $B_1$ лучи $B_1B$ и $B_1H$ совпадают. Отсюда
$$\angle BB_1C_1=\angle HB_1C_1.$$
Вписанные углы $HB_1C_1$ и $HAC_1$ опираются на одну хорду $HC_1$ и равны. Поскольку луч $AC_1$ совпадает с $AB$, получаем
$$\angle HB_1C_1=\angle HAC_1=\angle BAH.$$
Следовательно, $\angle BB_1C_1=\angle BAH$.
б) Находим $BC$. Обозначим $\alpha=\angle BAC=30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$:
$$AB_1=AB\cos\alpha.$$
В прямоугольном треугольнике $ACC_1$:
$$AC_1=AC\cos\alpha.$$
У треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ угол при $A$ одинаков, а прилежащие к нему стороны пропорциональны:
$$\frac{AB_1}{AB}=\frac{AC_1}{AC}=\cos\alpha.$$
Значит, они подобны по двум сторонам и углу между ними. Их третьи стороны дают
$$B_1C_1=BC\cos\alpha.$$
Подставляем данные:
$$18=BC\cdot\frac{\sqrt3}{2},$$
$$BC=18\cdot\frac2{\sqrt3}=\frac{36}{\sqrt3}=12\sqrt3.$$
Радиус и расстояние до стороны. По расширенной теореме синусов сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, равна $2R\sin A$. Поэтому
$$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{12\sqrt3}{2\cdot(1/2)}=12\sqrt3.$$
Пусть $O$ — центр окружности, $T$ — середина $BC$. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит,
$$OT\perp BC,\qquad BT=\frac{BC}{2}=6\sqrt3.$$
В прямоугольном треугольнике $OBT$ гипотенуза $OB=R=12\sqrt3$. По Пифагору
$$OT^2=OB^2-BT^2=(12\sqrt3)^2-(6\sqrt3)^2=432-108=324,$$
$$OT=\sqrt{324}=18.$$
Точка $T$ лежит на самом отрезке $BC$, поэтому это также расстояние до стороны, а не только до прямой, её содержащей.
Ответ: б) $18$.