ФИПИ 2B52E7 — Треугольники и окружности

Нужно сначала доказать подобие, а затем с его помощью найти неизвестную сторону и радиус окружности. Точки $C_1$ и $B_1$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $AC$; они отсекают у вершины $A$ малый треугольник. Радиус будем искать по треугольнику из точек самой данной окружности. Шаг 1. Докажем подобие и установим соответствие сторон. Из точки $A$ выходят две секущие: на одной расположены $A,C_1,B$, на другой — $A,B_1,C$. Теорема о двух секущих говорит, что произведение расстояний от внешней точки до двух пересечений с окружностью одинаково для обеих секущих: $$AC_1\cdot AB=AB_1\cdot AC.$$ Делим обе части на положительное произведение $AC\cdot AC_1$: $$\frac{AB}{AC}=\frac{AB_1}{AC_1}.$$ Угол между $AB$ и $AC$ совпадает с углом между $AB_1$ и $AC_1$: обе пары лучей выходят из $A$ вдоль тех же сторон. Две стороны пропорциональны и угол между ними равен — это признак подобия. $$\triangle ABC\sim\triangle AB_1C_1.$$ Здесь $A$ соответствует $A$, $B$ — $B_1$, $C$ — $C_1$. Поэтому соответствующие стороны — $AB$ и $AB_1$, $AC$ и $AC_1$, $BC$ и $B_1C_1$. Пункт а доказан. Шаг 2. Получим коэффициент подобия из площадей. Обозначим площадь малого треугольника буквой $S$. По условию площадь оставшегося четырёхугольника равна $3S$. Большой треугольник состоит из этих двух частей, поэтому его площадь равна $$S+3S=4S.$$ У подобных треугольников площади относятся как квадраты соответствующих сторон. Если $k$ — отношение малой стороны к большой, то $$k^2=\frac{S}{4S}=\frac1{4}.$$ Длины положительны, поэтому берём положительный квадратный корень: $$k=\frac1{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}.$$ Известна большая сторона $BC=10 \sqrt{7}$. Умножаем её на коэффициент подобия: $$B_1C_1=k\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 10 \sqrt{7}=5 \sqrt{7}.$$ Шаг 3. Выразим хорду $BB_1$ через сторону $AB$. Положим $AB=c$. Из подобия $AB_1=kc$. В треугольнике $ABB_1$ известен угол между этими сторонами — он равен $120^\circ$. По теореме косинусов квадрат противоположной стороны равен сумме квадратов двух сторон минус удвоенное произведение сторон на косинус угла между ними: $$BB_1^2=c^2+(kc)^2-2c\cdot kc\cos 120^\circ.$$ Раскрываем квадрат произведения и выносим $c^2$: $$BB_1^2=c^2+k^2c^2-2kc^2\cos 120^\circ=c^2(1+k^2-2k\cos 120^\circ).$$ Подставляем $k=\frac{1}{2}$ и $\cos 120^\circ=- \frac{1}{2}$: $$1+k^2-2k\cos 120^\circ=1+\frac{1}{4}-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(- \frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}.$$ Следовательно, $$BB_1^2=c^2\left(\frac{7}{4}\right),\qquad BB_1=c\sqrt{\frac{7}{4}}.$$ Выбрали положительный корень, потому что $BB_1$ — длина. Шаг 4. Найдём радиус данной окружности. Обозначим угол $ACB$ через $\gamma$. Так как $B_1$ находится на стороне $AC$, угол $BCB_1$ также равен $\gamma$. Треугольник $BCB_1$ вписан в данную окружность, и сторона $BB_1$ лежит напротив угла $\gamma$. Расширенная теорема синусов даёт $$2R=\frac{BB_1}{\sin\gamma},\qquad R=\frac{c\sqrt{\frac{7}{4}}}{2\sin\gamma}.$$ Неизвестное $c$ можно исключить. В большом треугольнике $ABC$ та же теорема синусов даёт $$\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{BC}{\sin 120^\circ}.$$ Заменяем эту дробь в формуле радиуса: $$R=\frac{BC\sqrt{\frac{7}{4}}}{2\sin 120^\circ}.$$ Подставляем $BC=10 \sqrt{7}$, $\sin 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$R=\frac{\left(10 \sqrt{7}\right)\sqrt{\frac{7}{4}}}{2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{35 \sqrt{3}}{3}.$$ Для проверки возвращаемся к формуле хорды: $2R\sin\gamma=BB_1$ — именно по ней получен радиус. Обе длины положительны, коэффициент подобия меньше единицы, как и должно быть для внутреннего малого треугольника. Ответ: а) подобие доказано; б) $BC=10 \sqrt{7}$, $B_1C_1=5 \sqrt{7}$, $R=\frac{35 \sqrt{3}}{3}$.