В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^{\circ}$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.
а) Докажите, что $AH=AO$.
б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=\sqrt{15}$, $∠ABC=45^{\circ}$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{5}{4}$.
Решение
Нужно сравнить расстояния от $A$ до ортоцентра $H$ и до центра описанной окружности $O$, затем найти площадь треугольника $AHO$. Ортоцентр — точка пересечения прямых высот. При тупом угле он находится вне треугольника; поэтому нельзя считать, что все вспомогательные точки находятся внутри рисунка.
Шаг 1. Добавим диаметр описанной окружности.
Пусть $D$ — точка окружности, противоположная $A$, а $L$ — середина $BC$. Тогда $AD$ — диаметр, и $O$ — его середина. Углы $ABD$ и $ACD$ опираются на диаметр, поэтому оба прямые: $BD\perp AB$, $CD\perp AC$.
По определению высот $BH\perp AC$, $CH\perp AB$. Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны, следовательно,
$$BH\parallel CD,\qquad CH\parallel BD.$$
У четырёхугольника $BHCD$ обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому это параллелограмм. Его диагонали $BC$ и $HD$ делятся пополам. Значит, середина $L$ отрезка $BC$ одновременно является серединой $HD$.
В треугольнике $ADH$ отрезок $OL$ соединяет середины $AD$ и $DH$. Это средняя линия: она параллельна третьей стороне $AH$ и вдвое короче неё:
$$AH=2OL.$$
Шаг 2. Вычислим $OL$ через радиус $R$.
Радиусы к концам хорды $BC$ образуют равнобедренный треугольник $OBC$. Медиана $OL$ в нём также высота, поэтому $OL\perp BC$. По расширенной теореме синусов для $ABC$:
$$BC=2R\sin120^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3.$$
Точка $L$ — середина хорды, значит, $BL=BC/2=R\sqrt3/2$. В прямоугольном треугольнике $OLB$ гипотенуза $OB=R$. По теореме Пифагора:
$$OL^2=OB^2-BL^2=R^2-\left(\frac{R\sqrt3}{2}\right)^2=R^2-\frac{3R^2}{4}=\frac{R^2}{4}.$$
Берём положительный корень: $OL=R/2$. Тогда $AH=2OL=2\cdot R/2=R$. При этом $AO=R$, поскольку $A$ лежит на описанной окружности. Следовательно, $AH=AO$. Пункт а доказан.
Шаг 3. Найдём угол для формулы площади.
Третий угол исходного треугольника:
$$C=180^\circ-120^\circ-45^\circ=15^\circ.$$
Прямая $AH$ — третья высота, то есть $AH\perp BC$. Луч, противоположный $AH$, направлен внутрь угла $A$; с $AB$ он образует угол $90^\circ-B=45^\circ$. Это следует из прямоугольного треугольника, образованного прямыми $AB,BC,AH$.
Вписанный угол $ACB=15^\circ$ стягивает малую дугу $AB$ величиной $30^\circ$. Поэтому центральный угол $AOB=30^\circ$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ углы при основании равны:
$$\angle OAB=\frac{180^\circ-30^\circ}2=75^\circ.$$
Оба сравниваемых луча направлены внутрь угла $A$, поэтому угол между ними равен разности найденных углов:
$$|45^\circ-75^\circ|=30^\circ.$$
Возвращаясь от луча, противоположного $AH$, к самому $AH$, получаем дополнительный угол $150^\circ$. Для площади существенен его синус:
$$\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac12.$$
Шаг 4. Подставим длины в формулу площади.
Из $BC=R\sqrt3$ получаем
$$R=\frac{BC}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt3}=\sqrt{5},\qquad R^2=\frac{BC^2}3=\frac{15}3=5.$$
Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. Здесь обе стороны $AH$ и $AO$ равны $R$:
$$S_{AHO}=\frac12\cdot AH\cdot AO\cdot\sin150^\circ=\frac12\cdot R^2\cdot\frac12=\frac{R^2}4.$$
$$S_{AHO}=\frac{5}4=\frac{5}{4}.$$
Проверка: площадь положительна и меньше $R^2/2$, максимальной площади при двух сторонах длины $R$.
Ответ: а) $AH=AO$; б) $S_{AHO}=\frac{5}{4}$.