В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $AH,$ $BN$ и $CK$ $—$ высоты. Известно, что $AK=1,$ $BH=2,$ а $∠KNH=60^{\circ}.$
а) Докажите, что $∠ABC=60^{\circ}.$
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) $60^\circ$; б) $\frac{2\sqrt{21}}3$.
Решение
План. Здесь $H$ — основание высоты из $A$ на $BC$, а не ортоцентр: это следует из слов «$AH$ — высота». Два четырёхугольника с прямыми углами дадут два угла у $N$. Их сумма определит угол $B$. Затем по прямоугольным треугольникам найдём две стороны и радиус.
а) Две вспомогательные окружности. Поскольку $CK\perp AB$, угол $BKC$ прямой. Поскольку $BN\perp AC$, угол $BNC$ тоже прямой. Значит, $B,C,K,N$ лежат на окружности с диаметром $BC$.
Вписанные углы $KNB$ и $KCB$ опираются на хорду $KB$, поэтому равны. В прямоугольном треугольнике $BKC$ угол при $B$ совпадает с углом $ABC$. Обозначим его $\beta$. Тогда
$$\angle KNB=\angle KCB=90^\circ-\beta.$$
Также $AH\perp BC$, поэтому угол $AHB$ прямой; угол $ANB$ прямой, потому что $N\in AC$ и $BN\perp AC$. Значит, $A,B,H,N$ лежат на окружности с диаметром $AB$. Вписанные углы $BNH$ и $BAH$ опираются на хорду $BH$, поэтому
$$\angle BNH=\angle BAH.$$
В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол при $B$ равен $\beta$, следовательно,
$$\angle BNH=90^\circ-\beta.$$
Почему эти два угла нужно сложить? Луч $NB$ разделяет треугольник $ABC$ на стороны, содержащие $A$ и $C$. Точка $K$ лежит на $AB$ с одной стороны от $BN$, а $H$ — на $BC$ с другой. Оба найденных угла острые, поэтому луч $NB$ лежит внутри меньшего угла $KNH$. Значит,
$$\angle KNH=\angle KNB+\angle BNH=180^\circ-2\beta.$$
По условию $\angle KNH=60^\circ$:
$$180^\circ-2\beta=60^\circ,\qquad 2\beta=120^\circ,\qquad \beta=60^\circ.$$
Пункт а) доказан.
б) Находим стороны. В прямоугольном треугольнике $ABH$:
$$\cos B=\frac{BH}{AB}.$$
Подставляем $BH=2$, $\cos60^\circ=1/2$:
$$\frac12=\frac2{AB},\qquad AB=4.$$
Условие $AK=1$ даёт
$$BK=AB-AK=4-1=3.$$
В прямоугольном треугольнике $BCK$:
$$\cos B=\frac{BK}{BC},\qquad \frac12=\frac3{BC},\qquad BC=6.$$
Две стороны и угол между ними известны. По теореме косинусов:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos B,$$
$$AC^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\frac12=16+36-24=28,$$
$$AC=\sqrt{28}=2\sqrt7.$$
По расширенной теореме синусов сторона $AC$, противоположная углу $B$, равна $2R\sin B$. Поэтому
$$R=\frac{AC}{2\sin B}=\frac{2\sqrt7}{2\cdot(\sqrt3/2)}=\frac{2\sqrt7}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt{21}}3.$$
Ответ: б) $\frac{2\sqrt{21}}3$.