ФИПИ 92699C — Треугольники и окружности

Нужно найти основание $AC$, а затем площадь прямоугольного треугольника. Условие касания средней линии свяжет высоту треугольника с радиусом вписанной окружности. Шаг 1. Выразим высоту через радиус. Пусть $h$ — высота из $B$ к $AC$, $r$ — радиус вписанной окружности. Отрезок $EF$ соединяет середины $AB$ и $BC$, поэтому $EF\parallel AC$. Малый треугольник $BEF$ подобен $BAC$ с коэффициентом $1/2$, значит, его высота равна $h/2$. Тогда расстояние между $EF$ и $AC$ равно $h-h/2=h/2$. Обе прямые касаются одной окружности. Для двух различных параллельных касательных центр лежит между ними, а расстояние между прямыми равно сумме двух радиусов, то есть $2r$. Поэтому $$h/2=2r,\qquad h=4r.$$ Шаг 2. Используем периметр, чтобы найти $AC$. Полупериметр $p=36/2=18$. Площадь треугольника можно вычислить как $S=rp$: соединив центр окружности с вершинами, получаем три треугольника с высотой $r$, и сумма их площадей равна $r(AB+BC+AC)/2=rp$. По основанию $AC$ площадь также равна $AC\cdot h/2$. Подставляем $h=4r$: $$18r=\frac{AC\cdot4r}{2}=2r\cdot AC.$$ Радиус положителен, поэтому можно разделить обе части на $2r$: $$AC=18r/(2r)=9.$$ Пункт а доказан. Шаг 3. Найдём второй катет при прямом угле $C$. Пусть $BC=z>0$. Из периметра $AB+BC+AC=36$ получаем $AB=36-z-9=27-z$. Здесь $AB$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $$9^2+z^2=(27-z)^2.$$ Вычисляем и раскрываем квадрат разности: $$81+z^2=729-54z+z^2.$$ Вычитаем $z^2$ из обеих частей, переносим $-54z$ влево и 81 вправо: $$81=729-54z,\qquad54z=729-81=648,\qquad z=648/54=12.$$ Гипотенуза $AB=27-12=15$. Проверка: $9+12+15=36$ и $9^2+12^2=81+144=225=15^2$. Шаг 4. Найдём площадь. У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны, поэтому один служит основанием, другой высотой: $$S=\frac12 AC\cdot BC=\frac{9\cdot12}{2}=108/2=54.$$ Дополнительная проверка касания: $r=S/p=54/18=3$, $h=2S/AC=108/9=12=4r$. Ответ: а) $AC=9$; б) $S=54$.