Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника $ABCD$ в отношении $AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4$, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, $PQ=16, QW=12$, угол PWQ $—$ острый.
а) Докажите, что треугольник $PQW$ $—$ прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $392$.
Решение
Нужно доказать, что угол $PQW$ прямой, затем связать стороны этого треугольника с диагоналями четырёхугольника. Данные отношения точек на сторонах позволят применить подобие.
Шаг 1. Найдём синусы двух углов треугольника $PQW$.
Расширенная теорема синусов: сторона, делённая на синус противоположного угла, равна диаметру описанной окружности. Здесь диаметр $2R=2\cdot10=20$. Поэтому
$$\sin W=\frac{PQ}{2R}=\frac{16}{20}=\frac45,\qquad \sin P=\frac{QW}{2R}=\frac{12}{20}=\frac35.$$
По условию угол $W$ острый. Значит, его косинус положителен. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2W+\cos^2W=1$:
$$\cos^2W=1-\left(\frac45\right)^2=1-\frac{16}{25}=\frac9{25},\qquad \cos W=\frac35.$$
Сторона $QW=12$ меньше стороны $PQ=16$. В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол, поэтому $P<W<90^\circ$; угол $P$ тоже острый.
Мы получили $\sin P=\cos W=\sin(90^\circ-W)$. Для острых углов синус строго возрастает, поэтому равенство синусов даёт равенство углов:
$$P=90^\circ-W,\qquad P+W=90^\circ.$$
Сумма трёх углов треугольника $180^\circ$, следовательно,
$$Q=180^\circ-(P+W)=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$
Пункт а доказан. Проверка по сторонам: гипотенуза $PW=2R=20$, и $12^2+16^2=144+256=400=20^2$.
Шаг 2. Выразим диагональ $AC$ через $PQ$.
Отношение $AP:PB=3:4$ означает, что вся сторона $AB$ состоит из $7$ равных частей, а $BP$ занимает четыре. Поэтому $BP/BA=4/7$. По той же причине из $CQ:QB=3:4$ имеем $BQ/BC=4/7$.
В треугольнике $BAC$ две точки отсекают от сторон одинаковые доли, значит, $PQ\parallel AC$, а треугольники $BPQ$ и $BAC$ подобны. Соответственно,
$$\frac{PQ}{AC}=\frac{BP}{BA}=\frac4{7},\qquad AC=PQ\cdot\frac{7}4.$$
$$AC=16\cdot\frac{7}4=4\cdot7=28.$$
Шаг 3. Аналогично найдём вторую диагональ $BD$.
В треугольнике $CBD$ имеем $CQ/CB=CW/CD=3/7$. Поэтому $QW\parallel BD$ и
$$\frac{QW}{BD}=\frac{3}{7},\qquad BD=12\cdot\frac{7}{3}=28.$$
Так как $PQ\perp QW$, параллельные им диагонали $AC$ и $BD$ тоже перпендикулярны.
Шаг 4. Найдём площадь четырёхугольника.
Пусть диагонали пересекаются в $T$. Они делят выпуклый четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника. Складываем их площади:
$$S=\frac12(AT\cdot BT+BT\cdot CT+CT\cdot DT+DT\cdot AT).$$
Группируем слагаемые:
$$S=\frac12(AT+CT)(BT+DT)=\frac12 AC\cdot BD.$$
Подставляем найденные диагонали:
$$S=\frac{28\cdot28}2=\frac{784}2=392.$$
Проверка: площадь $PQW$ равна $16\cdot12/2=96$. Отношение площадей по двум перпендикулярным направлениям равно $\frac4{7}\cdot\frac{3}{7}$; умножение найденной площади на эту дробь также даёт 96.
Ответ: а) угол $PQW$ прямой; б) $S_{ABCD}=392$.