ФИПИ 2412FA — Треугольники и окружности

Нужно доказать, что диагональ $AC$ проходит через центр вписанной окружности треугольника $AMD$, и вычислить радиус. Сначала покажем, что $AC$ — биссектриса угла этого треугольника. Для радиуса затем найдём его стороны и площадь. Шаг 1. Докажем свойство диагонали. По условию $AM=MC$. Поэтому треугольник $AMC$ равнобедренный, его углы при основании $AC$ равны: $$\angle MAC=\angle ACM.$$ Так как $CM$ лежит на $BC$, а $BC\parallel AD$, углы $ACM$ и $CAD$ равны как накрест лежащие. Значит, $$\angle MAC=\angle CAD.$$ Итак, луч $AC$ делит угол $MAD$ пополам. Центр вписанной окружности треугольника находится на его внутренних биссектрисах, поэтому центр окружности $AMD$ лежит на $AC$. Внутри этого треугольника соответствующая часть прямой находится и внутри отрезка диагонали параллелограмма. Пункт а доказан. Шаг 2. Найдём положение $M$. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD=BC=10$, $CD=AB=5$. Пусть $BM=u$. Тогда $MC=10-u$, а по условию $AM=10-u$. Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$, значит, $\angle ABM=180^\circ-60^\circ=120^\circ$. В треугольнике $ABM$ по теореме косинусов: $$AM^2=AB^2+BM^2-2AB\cdot BM\cos120^\circ.$$ Подставляем $\cos120^\circ=-1/2$: $$AM^2=5^2+u^2-2\cdot5u\cdot(-1/2)=25+u^2+5u.$$ С другой стороны, $AM^2=(10-u)^2$. Приравниваем и раскрываем квадрат: $$100-20u+u^2=25+u^2+5u.$$ Вычитаем $u^2$, переносим числа влево, слагаемые при $u$ вправо: $$100-25=5u+20u,\qquad75=25u,\qquad u=3.$$ Значит, $AM=MC=10-3=7$. Шаг 3. Найдём третью сторону $MD$. Угол $MCD$ совпадает с углом $BCD$, который равен углу $BAD=60^\circ$. В треугольнике $MCD$ известны стороны $MC=7$, $CD=5$ и угол между ними. Поэтому $$MD^2=7^2+5^2-2\cdot7\cdot5\cos60^\circ.$$ $$MD^2=49+25-70\cdot\frac12=74-35=39.$$ Длина положительна, поэтому $MD=\sqrt{39}$. Шаг 4. Найдём площадь и полупериметр $AMD$. Точка $M$ лежит на прямой $BC$, параллельной $AD$, поэтому высота из $M$ к $AD$ равна высоте параллелограмма. Из стороны $AB$: $$h=AB\sin60^\circ=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}.$$ Тогда $$S_{AMD}=\frac12 AD\cdot h=\frac12\cdot10\cdot\frac{5\sqrt3}{2}=\frac{25\sqrt3}{2}.$$ Полупериметр треугольника: $$p=\frac{AD+AM+MD}{2}=\frac{10+7+\sqrt{39}}2=\frac{17+\sqrt{39}}2.$$ Шаг 5. Вычислим радиус. Формула $S=rp$ получается сложением трёх площадей с общей высотой $r$, проведённой из центра окружности к каждой стороне. Поэтому $$r=\frac Sp=\frac{25\sqrt3/2}{(17+\sqrt{39})/2}=\frac{25\sqrt3}{17+\sqrt{39}}.$$ Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое $17-\sqrt{39}$: $$r=\frac{25\sqrt3(17-\sqrt{39})}{(17+\sqrt{39})(17-\sqrt{39})}=\frac{25\sqrt3(17-\sqrt{39})}{17^2-39}.$$ Знаменатель $289-39=250$. Сокращаем $25/250=1/10$: $$r=\frac{\sqrt3(17-\sqrt{39})}{10}.$$ Проверка: $r>0$, поскольку $\sqrt{39}<17$; умножение $r$ на $p$ возвращает $25\sqrt3/2$. Ответ: а) центр лежит на диагонали $AC$; б) $r=\sqrt3(17-\sqrt{39})/10$.