В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точках $C$ и $M$.
а) Докажите, что $∠BAM=∠CAD$.
б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB=\sqrt{10}$, а $BC=2BM$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $3\sqrt2$.
Решение
Нужно сравнить два угла и найти площадь $AOB$. Точки $C$ и $M$ находятся на одной окружности и на одной горизонтальной прямой. Их координаты будут корнями одного квадратного уравнения, что даст удобное равенство произведения.
Шаг 1. Получим связь между $BC,BM$ и высотой.
Выберем $A=(0;0)$, $B=(0;h)$, $D=(d;0)$, $C=(c;h)$, $M=(m;h)$, где $h=AB>0$, $c=BC>0$, $m=BM>0$.
Центр окружности с диаметром $AD$ — $(d/2;0)$, радиус $d/2$. Её уравнение
$$(x-d/2)^2+y^2=(d/2)^2.$$
Раскрываем квадрат и сокращаем $d^2/4$:
$$x^2-dx+d^2/4+y^2=d^2/4,\qquad x^2+y^2=dx.$$
На прямой $BC$ имеем $y=h$, поэтому координаты пересечений $m,c$ удовлетворяют $x^2-dx+h^2=0$. Раскрыв $(x-m)(x-c)$, получаем $x^2-(m+c)x+mc$. Сравнивая коэффициенты, имеем
$$m+c=d,\qquad mc=h^2.$$
Шаг 2. Докажем равенство углов.
В прямоугольном треугольнике $ABM$ тангенс угла $BAM$ равен $BM/AB=m/h$. Для угла $CAD$ отношение вертикального подъёма $h$ к горизонтальному $c$ равно $h/c$:
$$\tan\angle BAM=m/h,\qquad\tan\angle CAD=h/c.$$
Из $mc=h^2$ после деления на $hc>0$ получаем $m/h=h/c$. Оба угла острые, а равным тангенсам острых углов соответствуют равные углы. Пункт а доказан.
Шаг 3. Найдём размеры трапеции.
По условию $BC=2BM$, то есть $c=2m$, и $h=\sqrt{10}$. Поэтому
$$mc=2m^2=h^2=10,\qquad m^2=5,\qquad m=\sqrt5.$$
Значит, $c=2\sqrt5$, $d=m+c=3\sqrt5$.
Шаг 4. Найдём горизонтальную координату $O$.
На диагонали $AC$ точка на доле $t$ пути от $A$ имеет координаты $(tc;th)$. На диагонали $BD$ вертикальная координата $y$ и горизонтальная $x$ связаны уравнением $x/d+y/h=1$ — оно верно и при $B$, и при $D$. Подставляем $x=tc$, $y=th$:
$$tc/d+t=1,\qquad t(c+d)/d=1,\qquad t=d/(c+d).$$
Следовательно,
$$x_O=tc=\frac{cd}{c+d}=\frac{(2\sqrt5)(3\sqrt5)}{2\sqrt5+3\sqrt5}=\frac{30}{5\sqrt5}=\frac6{\sqrt5}=\frac{6\sqrt5}{5}.$$
Шаг 5. Найдём площадь.
Сторона $AB$ вертикальна, поэтому расстояние от $O$ до неё — горизонтальная координата $x_O$. Тогда
$$S_{AOB}=\frac12 AB\cdot x_O=\frac12\sqrt{10}\cdot\frac{6\sqrt5}{5}=\frac{3\sqrt{50}}5.$$
Так как $\sqrt{50}=5\sqrt2$, получаем $S_{AOB}=3\sqrt2$.
Проверка: $m+c=3\sqrt5=d$, $mc=\sqrt5\cdot2\sqrt5=10=h^2$; обе точки действительно лежат на заданной окружности.
Ответ: а) углы равны; б) $S_{AOB}=3\sqrt2$.