ФИПИ 0BC5F1 — Четырехугольники и окружности

Нужно доказать равенство $BK=BE$ и найти $KE:AC$. Для первого пункта увидим две трапеции, вписанные в окружность. Для второго найдём координаты вторых пересечений прямых с окружностью. Шаг 1. Докажем равенство длин через вписанные трапеции. Точки $A,E$ лежат на прямой $AD$, параллельной $BC$. Поэтому четырёхугольник $ABCE$ — трапеция с основаниями $AE$ и $BC$. Все её вершины находятся на одной окружности. Вписанная трапеция равнобедренная и имеет равные диагонали, значит, $BE=AC$. Точки $C,K$ лежат на прямой $CD$, параллельной $AB$. Четырёхугольник $ABCK$ — ещё одна вписанная трапеция, теперь с основаниями $AB$ и $CK$. Её диагонали равны: $BK=AC$. Следовательно, $BK=BE$. Пункт а доказан. Поясним свойство вписанной трапеции. Параллельность оснований даёт сумму соседних углов $180^\circ$, а вписанность — сумму противоположных $180^\circ$. Из этих двух равенств следует равенство углов при основании. Трапеция равнобедренная; треугольники с общим основанием, равными боковыми сторонами и равными углами при основании дают равенство диагоналей. Шаг 2. Выберем координаты и получим уравнение окружности. Обозначим $AD=d$, $AB=l$, угол $BAD=\theta$. Пусть $A=(0;0)$, $D=(d;0)$. Тогда $$B=(l\cos\theta;l\sin\theta),\qquad C=(d+l\cos\theta;l\sin\theta).$$ Для краткости обозначим $c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$. Сумма квадратов $c^2+s^2=1$, а $s>0$. Окружность через начало координат имеет уравнение $x^2+y^2+ux+vy=0$. Подстановка $B$ даёт $$l^2+ulc+vls=0.$$ При подстановке $C$ сумма квадратов координат равна $d^2+2dlc+l^2$, поэтому $$d^2+2dlc+l^2+u(d+lc)+vls=0.$$ Вычитаем уравнение для $B$: $$d^2+2dlc+ud=0.$$ Делим на $d>0$: $d+2lc+u=0$, значит, $$u=-d-2lc.$$ Шаг 3. Найдём $E$ и $K$. Прямая $AD$ — ось $x$, то есть $y=0$. Уравнение пересечений с окружностью: $$x^2+ux=x(x+u)=0.$$ Корень0 соответствует $A$, второй корень $x=-u=d+2lc$. Следовательно, $E=(d+2lc;0)$. Точки прямой $CD$, параллельной $AB$, имеют вид $D+tB=(d+tlc;tls)$. Подставляем в окружность: $$d^2+2dtlc+t^2l^2+ud+utlc+vtls=0.$$ Из уравнения для $B$ знаем $ulc+vls=-l^2$, поэтому два последних слагаемых в сумме равны $-tl^2$. Кроме того, $d^2+ud=-2dlc$. Получаем $$t^2l^2-tl^2+2dtlc-2dlc=0,$$ $$l^2t(t-1)+2dlc(t-1)=0,$$ $$(t-1)(l^2t+2dlc)=0.$$ Корень $t=1$ — точка $C$. Для второго пересечения $K$: $$l^2t+2dlc=0,\qquad t=-\frac{2dc}{l}.$$ Поэтому $$K=(d-2dc^2;-2dcs)=(-d\cos2\theta;-d\sin2\theta).$$ Здесь использованы формулы $2c^2-1=\cos2\theta$ и $2cs=\sin2\theta$. При $\theta=30^\circ$ число $c>0$, так что $t<0$: $K$ действительно находится за $D$. Шаг 4. Сравним $KE$ и $AC$. Разности координат $E-K$: $$\Delta x=d+2lc+d(2c^2-1)=2lc+2dc^2=2c(l+dc),$$ $$\Delta y=0-(-2dcs)=2dcs.$$ По формуле расстояния: $$KE^2=4c^2(l+dc)^2+4d^2c^2s^2=4c^2[(l+dc)^2+d^2s^2].$$ Раскрываем скобки и используем $c^2+s^2=1$: $$KE^2=4c^2[l^2+2ldc+d^2c^2+d^2s^2]=4c^2(l^2+2ldc+d^2).$$ Квадрат диагонали $AC$ равен сумме квадратов координат $C$: $$AC^2=(d+lc)^2+(ls)^2=d^2+2dlc+l^2(c^2+s^2)=d^2+2dlc+l^2.$$ Следовательно, $KE^2=4c^2AC^2$. При $\theta=30^\circ$ берём положительные корни: $$\frac{KE}{AC}=2\cos30^\circ=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$ Проверка: $E$ находится за $D$, поскольку $AE=d+2l\cos30^\circ>d$. Оба найденных пересечения отвечают расположению из условия. Ответ: а) $BK=BE$; б) $KE:AC=\sqrt3:1$.