Окружность проходит через вершины $A$, $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$, пересекает сторону $BC$ в точках $B$ и $M$ и пересекает продолжение
стороны $CD$ за точку $D$ в точке $N$.
а) Докажите, что $AM=AN$.
б) Найдите отношение $CD:DN$, если $AB:BC=1:2$, а $\cos ∠BAD=\frac{2}{3}$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $CD:DN=3:5$.
Решение
Нужно сравнить расстояния от $A$ до вторых пересечений окружности с двумя сторонами параллелограмма. Затем используем найденные формулы для заданных чисел. Чтобы не вводить неизвестный центр окружности, запишем её уравнение через скалярное произведение.
Шаг 1. Введём векторы и объясним уравнение окружности.
Выберем начало координат в $A$. Пусть $\mathbf u=\overrightarrow{AB}$, $\mathbf v=\overrightarrow{AD}$; обозначим $|\mathbf u|=b$, $|\mathbf v|=d$, $c=\cos\angle BAD$. По определению скалярного произведения
$$\mathbf u\cdot\mathbf v=bdc.$$
Если центр окружности имеет вектор положения $\mathbf o$, а точка на ней — $\mathbf x$, то уравнение окружности $|\mathbf x-\mathbf o|^2=R^2$. Окружность проходит через начало $A$, поэтому $R^2=|\mathbf o|^2$. Раскрывая квадрат, получаем
$$|\mathbf x|^2-2\mathbf o\cdot\mathbf x+|\mathbf o|^2=|\mathbf o|^2,$$
$$|\mathbf x|^2-\mathbf w\cdot\mathbf x=0,\qquad\mathbf w=2\mathbf o.$$
Подставляем точки $B$ и $D$, лежащие на окружности:
$$\mathbf w\cdot\mathbf u=b^2,\qquad\mathbf w\cdot\mathbf v=d^2.$$
Шаг 2. Найдём второе пересечение на прямой $BC$.
Назовём это пересечение $X$. Точка на $BC$ имеет вид $\mathbf x=\mathbf u+t\mathbf v$: при $t=0$ это $B$, при $t=1$ — $C$. Подставляем в уравнение окружности:
$$|\mathbf u+t\mathbf v|^2-\mathbf w\cdot(\mathbf u+t\mathbf v)=0.$$
Раскрываем квадрат суммы векторов и скалярное произведение:
$$b^2+2tbdc+t^2d^2-b^2-td^2=0,$$
$$t[2bdc+(t-1)d^2]=0.$$
Корень $t=0$ соответствует $B$. Для второго пересечения решаем второй множитель:
$$2bdc+td^2-d^2=0,\qquad td^2=d^2-2bdc,$$
$$t=1-\frac{2bc}{d}.$$
Значит, при внутреннем $X$ имеем $BX=td$ и $CX=(1-t)d=2bc$.
Шаг 3. Аналогично найдём пересечение на прямой $CD$.
Назовём его $Y$ и запишем $\mathbf y=\mathbf v+s\mathbf u$. При $s=0$ это $D$, при $s=1$ — $C$, при $s<0$ — продолжение за $D$. Подстановка в то же уравнение окружности даёт
$$d^2+2sbdc+s^2b^2-d^2-sb^2=0,$$
$$s[2bdc+(s-1)b^2]=0.$$
Первый корень соответствует $D$, для второго:
$$s=1-\frac{2dc}{b}.$$
Длина $DY=|s|b$: модуль нужен, потому что направление может быть противоположным $DC$.
Шаг 4. Докажем равенство $AX=AY$.
Квадрат первой длины:
$$AX^2=|\mathbf u+t\mathbf v|^2=b^2+2tbdc+t^2d^2.$$
Из уравнения второго пересечения $2bdc+(t-1)d^2=0$. Умножаем на $t$: $2tbdc+t^2d^2-td^2=0$, то есть $2tbdc+t^2d^2=td^2$. Поэтому
$$AX^2=b^2+td^2=b^2+\left(1-\frac{2bc}{d}\right)d^2=b^2+d^2-2bdc.$$
Для второй длины точно так же используем $2sbdc+s^2b^2=sb^2$:
$$AY^2=d^2+sb^2=d^2+\left(1-\frac{2dc}{b}\right)b^2=d^2+b^2-2bdc.$$
Квадраты совпадают; длины положительны, поэтому $AX=AY$. В нашей задаче $X,Y$ — именно указанные вторые пересечения. Пункт а доказан.
Шаг 5. Найдём отношение $CD:DN$ для данных этой задачи.
Здесь $X=M$, $Y=N$. Отношение $AB:BC=1:2$ означает $d=BC=2b$. По условию $c=\cos\angle BAD=2/3$. Подставляем в параметр точки $N$:
$$s=1-\frac{2dc}{b}=1-\frac{2\cdot2b\cdot(2/3)}b=1-\frac83=\frac33-\frac83=-\frac53.$$
Отрицательный знак показывает, что $N$ находится на продолжении за $D$, как и сказано в условии. Длина же положительна:
$$DN=|s|b=\frac{5b}{3}.$$
Сторона $CD$ равна противоположной стороне $AB=b$. Поэтому
$$CD:DN=b:\frac{5b}{3}=1:\frac53=3:5.$$
В последнем действии обе части отношения разделили на $b>0$, затем умножили на3.
Проверим точку $M$: $t=1-2bc/d=1-2b(2/3)/(2b)=1-2/3=1/3$, то есть $M$ действительно внутри стороны $BC$.
Ответ: а) $AM=AN$; б) $CD:DN=3:5$.