ФИПИ AC39B7 — Четырехугольники и окружности

Нужно доказать равенство $BC=DE$, затем найти $AB$. Из параллелограмма получим две трапеции, вписанные в окружность. Их боковые стороны равны. Затем применим произведения частей пересекающихся хорд. Шаг 1. Найдём равные стороны. Так как $BCDM$ — параллелограмм, $BC\parallel DM$ и $CD\parallel BM$. Точка $M$ находится на $AD$ и $BE$, поэтому $$BC\parallel AD,\qquad CD\parallel BE.$$ В четырёхугольнике $BCDE$ основания $CD$ и $BE$ параллельны. Это вписанная трапеция. Вписанная трапеция равнобедренная: углы при одном основании равны, поскольку углы у одной боковой стороны дополнительные из-за параллельности, а противоположные — дополнительные из-за вписанности; из этих двух равенств суммы получаем равенство углов при основании. Следовательно, её боковые стороны $BC$ и $DE$ равны. Пункт а доказан. Вписанная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ тоже равнобедренная, поэтому $AB=CD$. Шаг 2. Выразим части хорд через $AB$. Пусть $AB=x$. Тогда $CD=x$, а в параллелограмме $BM=CD=x$. По доказанному $BC=DE=4$, и другая сторона параллелограмма $DM=BC=4$. Хорды $AD$ и $BE$ пересекаются внутри окружности, поэтому $$AM=AD-DM=7-4=3,$$ $$ME=BE-BM=8-x.$$ Все эти длины положительны, в частности $0<x<8$. Шаг 3. Составим и решим уравнение пересекающихся хорд. Произведения длин частей двух хорд равны: $$AM\cdot MD=BM\cdot ME.$$ Подставляем: $$3\cdot4=x(8-x),\qquad12=8x-x^2.$$ Переносим все слагаемые влево и записываем по убыванию степеней: $$x^2-8x+12=0.$$ Коэффициенты $a=1$, $b=-8$, $c=12$. Дискриминант: $$D=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=64-48=16,\qquad\sqrt D=4.$$ Корни по формуле $x=(-b\pm\sqrt D)/(2a)$: $$x_1=(8-4)/2=4/2=2,$$ $$x_2=(8+4)/2=12/2=6.$$ По условию $AB>BC=4$, поэтому корень2 не подходит, а корень6 подходит. Значит, $AB=6$. Проверка: $ME=8-6=2>0$, а $AM\cdot MD=3\cdot4=12=6\cdot2=BM\cdot ME$. Ответ: а) $BC=DE$; б) $AB=6$.