ФИПИ D9D771 — Четырехугольники и окружности

Нужно доказать, что внутренние биссектрисы проходят через одну точку, и вычислить высоту трапеции. Равные хорды позволяют найти точку, одинаково удалённую от всех сторон, — это и будет общая точка биссектрис. Шаг 1. Докажем равенство расстояний от $O$ до сторон. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Если радиус исходной окружности $R$, длина хорды $2c$, а расстояние до прямой хорды $r$, то по теореме Пифагора $$r^2=R^2-c^2.$$ Для всех четырёх хорд $R$ и $c$ одинаковы, поэтому одинаково и $r$. Значит, центр $O$ равноудалён от прямых всех четырёх сторон трапеции. Шаг 2. Объясним, почему $O$ находится внутри трапеции. Сначала рассмотрим два параллельных основания. Единственные точки, равноудалённые от двух различных параллельных прямых, находятся на параллели посередине между ними. Следовательно, $O$ расположен между прямыми оснований. Пусть перпендикуляр через $O$ пересекает основания в $U$ и $V$. Эти точки — середины хорд, высекаемых на основаниях, поэтому они лежат на самих отрезках оснований. Весь отрезок $UV$ находится в выпуклой трапеции, а $O$ — его середина. Следовательно, $O$ находится внутри трапеции. Внутренняя точка, равноудалённая от двух сторон угла, лежит на его внутренней биссектрисе. Чтобы увидеть это, опустим два равных перпендикуляра: получатся прямоугольные треугольники с общей гипотенузой от вершины угла до точки $O$ и равными катетами $r$. Они равны, значит, луч к $O$ делит угол пополам. Это рассуждение подходит для каждой вершины трапеции. Поэтому все четыре биссектрисы проходят через $O$. Пункт а доказан. Шаг 3. Найдём положение проекции $O$ на боковую сторону. Пусть $T$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AB$. Оно является серединой хорды $KL$. Из $KL=6$ получаем $KT=TL=6/2=3$. Поэтому $$AT=AK+KT=15+3=18,$$ $$BT=BL+LT=5+3=8.$$ Кроме того, $OT=r$ — то самое общее расстояние до сторон. Шаг 4. Вычислим $r$ из двух прямоугольных треугольников. Обозначим половины углов трапеции при $A$ и $B$ через $\alpha$ и $\beta$. Основания параллельны, поэтому углы при одной боковой стороне в сумме дают $180^\circ$. Делим пополам: $\alpha+\beta=90^\circ$. Поскольку $AO$ и $BO$ — биссектрисы, в прямоугольных треугольниках $AOT$ и $BOT$: $$\tan\alpha=\frac{OT}{AT}=\frac r{18},\qquad \tan\beta=\frac{OT}{BT}=\frac r8.$$ У дополнительных до $90^\circ$ углов тангенсы взаимно обратны: $\tan\beta=\cot\alpha=1/\tan\alpha$. Следовательно, $$\frac r{18}\cdot\frac r8=1,\qquad \frac{r^2}{144}=1,\qquad r^2=144.$$ Расстояние положительно, поэтому $r=12$. Центр находится ровно посередине между основаниями, и до каждого из них расстояние $r$. Значит, высота равна $$h=r+r=2r=2\cdot12=24.$$ Проверка: $AT+BT=18+8=26$, что равно $AB=15+6+5=26$; $\tan\alpha\tan\beta=(12/18)(12/8)=(2/3)(3/2)=1$. Ответ: а) биссектрисы пересекаются в $O$; б) высота равна 24.