ФИПИ 4963Fe — Четырехугольники и окружности

Нужно доказать, что $L,O,A$ находятся на одной прямой, и найти $MN$. Свяжем перпендикулярный стороне радиус с биссектрисой из $L$. Затем выразим длины через радиус вписанной окружности. Шаг 1. Найдём все нужные углы. Сумма углов выпуклого четырёхугольника $360^\circ$. Поэтому недостающий угол равен $$\angle M=360^\circ-90^\circ-120^\circ-120^\circ=30^\circ.$$ Расположим $MN$ горизонтально, $N$ слева от $M$, а $K,L$ выше него. Тогда $NK$ вертикальна. Из угла при $K$, равного $120^\circ$, луч $KL$ направлен под углом $30^\circ$ к положительному горизонтальному направлению. Значит, противоположный луч $LK$ направлен под углом $210^\circ$. Центр вписанной окружности лежит на внутренней биссектрисе каждого угла: перпендикуляры из него к двум сторонам — равные радиусы, поэтому соответствующие прямоугольные треугольники равны. Луч $LO$ делит угол при $L$, равный $120^\circ$, пополам. Поворачивая от $LK$ внутрь четырёхугольника на $60^\circ$, получаем направление $$210^\circ+60^\circ=270^\circ.$$ Это вертикаль вниз. Следовательно, $LO\perp MN$. Радиус $OA$ тоже перпендикулярен касательной $MN$. Через $O$ проходит ровно одна прямая, перпендикулярная $MN$, поэтому $L,O,A$ лежат на ней. Центр внутри четырёхугольника, значит, $O$ находится между $L$ и $A$. Пункт а доказан. Шаг 2. Выразим $LA$ через радиус $r$. Обозначим точку касания на $KL$ через $T$. В прямоугольном треугольнике $LTO$ катет $OT=r$, а угол при $L$ равен половине угла четырёхугольника: $60^\circ$. По определению синуса $$\sin 60^\circ=\frac{OT}{LO}=\frac r{LO},\qquad LO=\frac r{\sin 60^\circ}.$$ Поскольку $O$ между $L$ и $A$: $$LA=LO+OA=\frac r{\sin 60^\circ}+r=r\left(1+\frac1{\sin 60^\circ}\right).$$ Подставляем $LA=1$ и $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$r\left(1+\frac1{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=1,\qquad r=\frac{1}{1+1/(\frac{\sqrt{3}}{2})}=-3 + 2 \sqrt{3}.$$ Рационализируем дробь: $$r=\frac{\sqrt3}{\sqrt3+2}=\frac{\sqrt3(2-\sqrt3)}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\frac{2\sqrt3-3}{4-3}=2\sqrt3-3.$$ Шаг 3. Найдём части стороны $MN$. Радиус $OA$ перпендикулярен $MN$. В прямоугольном треугольнике $NAO$ угол при $N$ равен половине $90^\circ$, то есть $45^\circ$. Поэтому $\tan45^\circ=OA/NA=1$ и $NA=r$. В прямоугольном $MAO$ угол при $M$ равен половине $30^\circ$, то есть $15^\circ$. Следовательно, $$\tan 15^\circ=\frac r{MA},\qquad MA=r\cot 15^\circ.$$ $$\cot15^\circ=\frac{\cos(45^\circ-30^\circ)}{\sin(45^\circ-30^\circ)}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2}=\frac{(\sqrt6+\sqrt2)^2}{6-2}=\frac{8+4\sqrt3}{4}=2+\sqrt3.$$ Складываем части: $$MN=NA+AM=r+r\cdot\left(\sqrt{3} + 2\right)=r\left(\sqrt{3} + 3\right).$$ Подстановка даёт $$MN=\left(-3 + 2 \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3} + 3\right)=-3 + 3 \sqrt{3}.$$ Раскроем последнее произведение: $$(2\sqrt3-3)(3+\sqrt3)=6\sqrt3+6-9-3\sqrt3=3\sqrt3-3=3(\sqrt3-1).$$ Проверка: $LO+OA=r/\sin 60^\circ+r=1$, как задано в условии. Ответ: а) точки коллинеарны; б) $MN=-3 + 3 \sqrt{3}$.