ФИПИ 7EEB3E — Четырехугольники и окружности

Нужно доказать, что линия центров параллельна основаниям, и найти расстояние между центрами. Две окружности касаются одних и тех же параллельных оснований, поэтому имеют одинаковый радиус и лежат на одной средней параллели. Шаг 1. Найдём положение центров. Пусть высота трапеции $h$. Центр окружности, касающейся двух различных параллельных прямых, находится посередине между ними, а её радиус равен половине расстояния между прямыми. Поэтому оба радиуса равны $r=h/2$, и оба центра лежат на прямой на высоте $h/2$ от оснований. Эта прямая параллельна основаниям, значит, $O_1O_2\parallel AD\parallel BC$. Пункт а доказан. Шаг 2. Рассмотрим среднюю линию трапеции. Пусть $E$ — середина $AB$, $F$ — середина $CD$. Отрезок $EF$ соединяет середины боковых сторон, поэтому это средняя линия. Она проходит ровно на половине высоты, то есть содержит оба центра. Её длина: $$EF=\frac{BC+AD}{2}=\frac{9+39}{2}=48/2=24.$$ Шаг 3. Найдём расстояния $EO_1$ и $FO_2$. Пусть $T$ — точка касания первой окружности со стороной $AB$. Радиус $O_1T$ перпендикулярен $AB$ и равен $h/2$. В прямоугольном треугольнике $EO_1T$ гипотенуза — $EO_1$, а угол при $E$ — острый угол между стороной $AB$ и основанием. Обозначим его $\alpha$. Высота трапеции равна вертикальной составляющей стороны $AB$, поэтому $h=AB\sin\alpha$ и $\sin\alpha=h/AB$. По определению синуса в $EO_1T$: $$\sin\alpha=\frac{O_1T}{EO_1},\qquad EO_1=\frac{O_1T}{\sin\alpha}=\frac{h/2}{h/AB}=\frac{AB}{2}=10/2=5.$$ Точно такое же вычисление для другой стороны с её углом наклона даёт $$FO_2=\frac{h/2}{h/CD}=\frac{CD}{2}=30/2=15.$$ Центры находятся внутри трапеции, поэтому на средней линии $O_1$ расположен правее $E$ на5, а $O_2$ — левее $F$ на15. Сумма этих отступов $5+15=20<24$, поэтому порядок точек $E,O_1,O_2,F$. Шаг 4. Вычислим оставшийся отрезок. $$O_1O_2=EF-EO_1-FO_2=24-5-15=4.$$ Проверка: три части средней линии в сумме $5+4+15=24$, как требуется. Ответ: а) прямая центров параллельна основаниям; б) $O_1O_2=4$.