ФИПИ C5B743 — Четырехугольники и окружности

а) Сначала объясним, что равенство трёх хорд говорит о дугах окружности. Равные хорды стягивают равные меньшие дуги. Обозначим центральный угол каждой такой дуги через $\alpha$. Последовательные дуги от $A$ до $B$, от $B$ до $C$ и от $C$ до $D$ являются именно меньшими. Действительно, если бы хотя бы одна была большей, её угловая мера была бы $360^\circ-\alpha$, а двух других — не меньше $\alpha$ каждая. Их сумма оказалась бы не меньше: $$360^\circ-\alpha+\alpha+\alpha=360^\circ+\alpha>360^\circ.$$ Но три неперекрывающиеся последовательные дуги не могут вместе превышать всю окружность. Полученное противоречие исключает большую дугу. Поэтому последовательные дуги $AB$ и $CD$ равны. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны: $$\angle ADB=\angle DBC.$$ Это накрест лежащие углы при секущей $DB$ и прямых $AD,BC$. Их равенство означает: $$AD\parallel BC.$$ б) Нужно найти длину четвёртой хорды $AD$. Свяжем её с известными тремя одинаковыми хордами через центральные углы. Положим $t=\alpha/2$. В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами к концам хорды $AB$, проведём высоту из центра окружности на хорду. Она делит пополам и хорду, и центральный угол. Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой $R=8$ и противолежащим углу $t$ катетом $AB/2=6$. Поэтому: $$\sin t=\frac{AB/2}{R}=\frac68=\frac34.$$ Так выводится общая формула длины хорды, соответствующей центральному углу $2t$: $$AB=2R\sin t.$$ Три равные последовательные дуги $AB,BC,CD$ вместе имеют угловую меру $3\alpha=6t$. Оставшаяся дуга $DA$ имеет меру $360^\circ-6t$. По той же формуле хорды: $$AD=2R\sin\frac{360^\circ-6t}{2}=2R\sin(180^\circ-3t).$$ Используем свойство $\sin(180^\circ-u)=\sin u$: $$AD=2R\sin3t.$$ Чтобы вычислить $\sin3t$ по известному $\sin t$, выведем нужную формулу. По формуле синуса суммы: $$\sin3t=\sin(2t+t)=\sin2t\cos t+\cos2t\sin t.$$ Подставим $\sin2t=2\sin t\cos t$ и $\cos2t=1-2\sin^2t$: $$\sin3t=2\sin t\cos^2t+(1-2\sin^2t)\sin t.$$ Так как $\cos^2t=1-\sin^2t$, получаем: $$\sin3t=2\sin t(1-\sin^2t)+\sin t-2\sin^3t.$$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$\sin3t=2\sin t-2\sin^3t+\sin t-2\sin^3t=3\sin t-4\sin^3t.$$ Теперь подставляем $\sin t=3/4$: $$\sin3t=3\cdot\frac34-4\left(\frac34\right)^3.$$ При возведении дроби в куб возводим в куб её числитель и знаменатель: $$\left(\frac34\right)^3=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}.$$ Поэтому: $$\sin3t=\frac94-\frac{108}{64}=\frac{144}{64}-\frac{108}{64}=\frac{36}{64}=\frac9{16}.$$ Остаётся умножить на диаметр окружности $2R=16$: $$AD=16\cdot\frac9{16}=9.$$ Ответ: а) $BC\parallel AD$; б) $AD=9$.