В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=5$ и диагональю $BD=9$. Все боковые рёбра пирамиды равны 5.
На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, а на ребре $AS$ $—$ точка $F$ так, что $SF=BE=4$.
а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$.
б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{5\sqrt{19}}{18}$.
Решение
План. Для отношений точек удобны координаты по трём рёбрам, даже если оси не перпендикулярны. Они позволяют найти долю ребра $SD$, занятую $SQ$. Настоящую длину высоты вычислим отдельно по Пифагору.
Временно возьмём $A$ за начало и векторы $AB$, $AD$, $AS$ за единичные координатные направления. Это означает: точке $(x;y;z)$ соответствует вектор $x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AS}$. Здесь можно находить плоскости и отношения отрезков, но нельзя считать длины как сумму квадратов этих координат.
$$A(0;0;0),\ B(1;0;0),\ D(0;1;0),\ C(1;1;0),\ S(0;0;1).$$
Так как $BD=9$, $BE=4$, доля пути от $B$ к $D$ равна $4/9$:
$$E=B+\frac49(D-B)=\left(1-\frac49;\frac49;0\right)=\left(\frac59;\frac49;0\right).$$
Из $AS=5$, $SF=4$ следует
$$AF=AS-SF=5-4=1,\qquad \frac{AF}{AS}=\frac15,$$
$$F\left(0;0;\frac15\right).$$
а) Находим плоскость $CEF$. Её уравнение имеет вид $ux+vy+wz=k$. Подстановка $F$ даёт $w/5=k$. Можно взять $k=1$, тогда $w=5$. Подстановка $C$ и $E$:
$$u+v=1,\qquad \frac59u+\frac49v=1.$$
Умножаем второе равенство на 9, а первое — на 4:
$$5u+4v=9,\qquad 4u+4v=4.$$
Вычитаем:
$$u=5,\qquad v=1-5=-4.$$
Следовательно, плоскость имеет уравнение
$$5x-4y+5z=1.$$
Направление $SB$ в выбранных координатах — $(1;0;-1)$. При движении на любую долю $t$ в этом направлении левая часть меняется на
$$5t-4\cdot0+5(-t)=0.$$
Таким образом, направление $SB$ параллельно плоскости. Точка $S$ не лежит в ней: её подстановка даёт 5, а справа 1. Поэтому прямая $SB$ параллельна плоскости $CEF$.
б) Находим высоту точки $Q$. Запишем точку на $SD$ через долю $t=SQ/SD$:
$$Q=S+t(D-S)=(0;t;1-t).$$
Подставляем в уравнение плоскости:
$$5\cdot0-4t+5(1-t)=1,$$
$$-4t+5-5t=1,\qquad 5-9t=1,$$
$$9t=4,\qquad t=\frac49.$$
Значит, $Q$ находится на ребре, а её высота над основанием составляет долю
$$1-t=1-\frac49=\frac59$$
от высоты $S$.
Теперь вернёмся к обычным расстояниям. Все боковые рёбра равны, поэтому проекция вершины $S$ на прямоугольник — его центр $O$. Расстояние от центра до вершины основания равно половине диагонали:
$$OD=\frac{BD}{2}=\frac92.$$
В прямоугольном треугольнике $SOD$:
$$SO^2=SD^2-OD^2=5^2-\left(\frac92\right)^2=25-\frac{81}{4}=\frac{100-81}{4}=\frac{19}{4},$$
$$SO=\frac{\sqrt{19}}2.$$
Расстояние от $Q$ до плоскости основания равно её высоте:
$$d=\frac59SO=\frac59\cdot\frac{\sqrt{19}}2=\frac{5\sqrt{19}}{18}.$$
Ответ: б) $\frac{5\sqrt{19}}{18}$.