ФИПИ A47BE8 — Расстояние от точки до плоскости

План. Для перпендикулярности найдём скалярное произведение направлений. Затем определим нормаль плоскости через два её направления и воспользуемся формулой расстояния. Пусть ребро куба равно $a$. Выберем координаты: $$A(0;0;0),\quad B(a;0;0),\quad C(a;a;0),\quad B_1(a;0;a),$$ $$M\left(\frac a2;0;0\right),\qquad N\left(0;\frac a2;0\right).$$ а) Перпендикулярность прямых. Направления: $$\overrightarrow{NB_1}=\left(a;-\frac a2;a\right),\qquad \overrightarrow{MC}=\left(\frac a2;a;0\right).$$ Их скалярное произведение равно $$a\cdot\frac a2+\left(-\frac a2\right)a+a\cdot0=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0.$$ Следовательно, направления перпендикулярны, то есть прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны. б) Находим плоскость $\alpha$. В ней лежит направление $NB_1$, а по условию она параллельна $CM$. Нормаль $\mathbf n=(u;v;w)$ перпендикулярна обоим направлениям. Делим уравнения скалярных произведений на $a>0$: $$u-\frac v2+w=0,\qquad \frac u2+v=0.$$ Из второго равенства $v=-u/2$. Подставляем в первое: $$u+\frac u4+w=0,\qquad w=-\frac54u.$$ Можно взять $u=-4$; тогда $v=2$, $w=5$. Уравнение плоскости через $N$: $$-4(x-0)+2\left(y-\frac a2\right)+5(z-0)=0,$$ $$-4x+2y+5z-a=0.$$ Её нормаль имеет длину $$|\mathbf n|=\sqrt{(-4)^2+2^2+5^2}=\sqrt{16+4+25}=\sqrt{45}=3\sqrt5.$$ Расстояние от $C(a;a;0)$ до неё: $$d=\frac{|-4a+2a+5\cdot0-a|}{3\sqrt5}=\frac{|-3a|}{3\sqrt5}=\frac a{\sqrt5}.$$ Осталось найти ребро куба из $B_1N=6$. По координатам: $$B_1N^2=a^2+\left(-\frac a2\right)^2+a^2=a^2+\frac{a^2}{4}+a^2=\frac{9a^2}{4},$$ $$B_1N=\frac{3a}{2}=6,\qquad 3a=12,\qquad a=4.$$ Подставляем и рационализируем знаменатель: $$d=\frac4{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}.$$ Ответ: б) $\frac{4\sqrt5}{5}$.