В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB=BC=AC=6\sqrt{2}$.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA=DN:NC=1:2$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{6\sqrt{19}}{19}$.
Решение
План. Сначала используем три прямоугольных треугольника у вершины $D$, чтобы найти боковые рёбра. Затем выберем оси вдоль этих перпендикулярных рёбер: так точки сечения получат простые координаты.
а) Почему пирамида правильная. Обозначим $DA=x$, $DB=y$, $DC=z$. По теореме Пифагора в треугольниках $ADB$, $BDC$, $ADC$:
$$x^2+y^2=AB^2,\quad y^2+z^2=BC^2,\quad x^2+z^2=AC^2.$$
Все правые части равны $(6\sqrt2)^2=2\cdot36=72$. Вычитая первые два равенства, получаем $x^2=z^2$, то есть $x=z$, поскольку длины положительны. Аналогично $x=y$. Тогда
$$2x^2=72,\qquad x^2=36,\qquad x=6.$$
Итак,
$$DA=DB=DC=6.$$
Основание $ABC$ равностороннее по условию. Если $H$ — проекция $D$ на основание, то из прямоугольных треугольников $DHA$, $DHB$, $DHC$:
$$HA^2=DA^2-DH^2,\quad HB^2=DB^2-DH^2,\quad HC^2=DC^2-DH^2.$$
Равные боковые рёбра дают $HA=HB=HC$. Значит, $H$ — центр окружности, описанной около равностороннего основания, то есть его центр. Высота попадает в центр правильного основания, поэтому пирамида правильная.
б) Координаты сечения. Направим оси из $D$ к $A$, $B$, $C$. Эти оси взаимно перпендикулярны:
$$D(0;0;0),\quad A(6;0;0),\quad B(0;6;0),\quad C(0;0;6).$$
Условие $DM:MA=DN:NC=1:2$ означает $$DM=DN=\frac{1}{1+2}\cdot6=\frac13\cdot6=2.$$ Поэтому $$M(2;0;0),\qquad N(0;0;2).$$
Плоскость через $M$, $N$, $B$ пересекает оси в точках с координатами 2, 6, 2. Запишем её уравнение и проверим подстановкой каждой точки:
$$\frac x2+\frac y6+\frac z2=1,$$
$$3x+y+3z=6.$$
Для $M$ левая часть равна $3\cdot2=6$, для $N$ — $3\cdot2=6$, для $B$ — $6$. Нормаль к плоскости — вектор $(3;1;3)$; его длина
$$\sqrt{3^2+1^2+3^2}=\sqrt{9+1+9}=\sqrt{19}.$$
Расстояние от точки до плоскости равно модулю результата подстановки точки в левую часть уравнения, перенесённого в одну сторону, делённому на длину нормали. Это выражение измеряет смещение именно вдоль перпендикуляра, а не вдоль какой-либо координатной оси. Для начала координат $D$:
$$d=\frac{|3\cdot0+0+3\cdot0-6|}{\sqrt{19}}=\frac6{\sqrt{19}}=\frac{6\sqrt{19}}{19}.$$
Ответ: б) $\frac{6\sqrt{19}}{19}$.