На рёбрах $AC,$ $AD,$ $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K,$ $L,$ $M$
и $N$ соответственно, причём $AK:KC=2:3.$ Четырёхугольник $KLMN$ $—$ квадрат со стороной 2.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM,$ если объём тетраэдра $ABCD$ равен 25.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{18}5$.
Решение
План. Параллельные стороны квадрата укажут направления противоположных рёбер тетраэдра. Через подобие найдём длины этих рёбер. Затем выразим объём через расстояние между параллельными сечению плоскостями.
а) Направления рёбер. Стороны квадрата $KL$ и $MN$ параллельны. Первая находится в плоскости $ACD$, вторая — в плоскости $BCD$. Эти плоскости пересекаются по $CD$. Если бы $KL$ пересекала $CD$ в точке $X$, то $X$ лежала бы и в плоскости квадрата, и в $BCD$, а значит, на $MN$. Получилось бы, что различные параллельные прямые $KL$ и $MN$ пересекаются. Это невозможно. Поэтому
$$KL\parallel MN\parallel CD.$$
Аналогично, рассматривая $KN$ в $ABC$ и $LM$ в $ABD$, получаем
$$KN\parallel LM\parallel AB.$$
Соседние стороны квадрата перпендикулярны. Следовательно, параллельные им направления рёбер тоже перпендикулярны:
$$AB\perp CD.$$
Находим длины $AB$, $CD$. Из $AK:KC=2:3$:
$$\frac{AK}{AC}=\frac25,\qquad \frac{CK}{CA}=\frac35.$$
В треугольнике $ACD$ отрезок $KL\parallel CD$. По подобию $AKL$ и $ACD$:
$$\frac{KL}{CD}=\frac{AK}{AC}=\frac25.$$
Так как сторона квадрата $KL=2$, получаем
$$\frac2{CD}=\frac25,\qquad CD=2\cdot\frac52=5.$$
В треугольнике $CAB$ отрезок $KN\parallel AB$. По подобию $CKN$ и $CAB$:
$$\frac{KN}{AB}=\frac{CK}{CA}=\frac35.$$
Отсюда
$$\frac2{AB}=\frac35,\qquad AB=2\cdot\frac53=\frac{10}{3}.$$
б) Почему в формуле объёма появляется расстояние между плоскостями. Обозначим плоскость квадрата через $\alpha$. Через $AB$ и $CD$ проведём параллельные ей плоскости $\beta$, $\gamma$. Пусть расстояние между ними равно $d$.
Для вывода нужной формулы возьмём обычные прямоугольные оси: ось $x$ вдоль $AB$, ось $y$ параллельно $CD$, ось $z$ перпендикулярно $\alpha$. Это возможно именно потому, что $AB\perp CD$. Начало — $A$. Тогда при $AB=p$, $CD=q$ координаты можно записать так:
$$A(0;0;0),\quad B(p;0;0),\quad C(u;v;d),\quad D(u;v+q;d).$$
Горизонтальные сдвиги $u,v$ могут быть любыми; они не повлияют на объём. Объём тетраэдра равен модулю смешанного произведения трёх рёбер из одной вершины, делённому на 6. Множитель $1/6$ получается из $1/2$ в площади треугольного основания и $1/3$ в объёме пирамиды. Раскрываем определитель по первой строке:
$$6V=\left|\begin{vmatrix}p&0&0\\u&v&d\\u&v+q&d\end{vmatrix}\right|=|p(vd-d(v+q))|.$$
Раскрываем скобки:
$$6V=|p(vd-dv-dq)|=|-pqd|=pqd.$$
Следовательно,
$$V=\frac{AB\cdot CD\cdot d}{6}.$$
Подставляем найденные длины и $V=25$:
$$25=\frac{(10/3)\cdot5\cdot d}{6}=\frac{25d}{9},$$
$$d=25\cdot\frac9{25}=9.$$
Плоскость $\alpha$ пересекает $AC$ в точке $K$ на доле $AK/AC=2/5$ от $\beta$ к $\gamma$. Расстояние до параллельной плоскости при движении по отрезку меняется линейно, поэтому расстояние от всей прямой $AB$, в частности от $B$, до $\alpha$:
$$d(B,\alpha)=\frac25d=\frac25\cdot9=\frac{18}{5}.$$
Ответ: б) $\frac{18}{5}$.